Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnubfi Structured version   Unicode version

Theorem nnubfi 26445
Description: A bounded above set of natural numbers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnubfi  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnubfi
StepHypRef Expression
1 fzfi 11303 . 2  |-  ( 0 ... B )  e. 
Fin
2 ssel2 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  NN )
3 nnnn0 10220 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  NN0 )
54adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  NN0 )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  e.  NN0 )
7 nnnn0 10220 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
87ad3antlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  B  e.  NN0 )
9 nnre 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
102, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1110adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
12 nnre 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1312ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
14 ltle 9155 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  <  B  ->  x  <_  B )
)
1511, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  B  ->  x  <_  B ) )
1615imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  <_  B )
17 elfz2nn0 11074 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  <->  ( x  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  x  <_  B ) )
186, 8, 16, 17syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  e.  ( 0 ... B
) )
1918ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B
) ) )
2019ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B
) ) )
21 rabss 3412 . . 3  |-  ( { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  ( 0 ... B
)  <->  A. x  e.  A  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B ) ) )
2220, 21sylibr 204 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  (
0 ... B ) )
23 ssfi 7321 . 2  |-  ( ( ( 0 ... B
)  e.  Fin  /\  { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  ( 0 ... B
) )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
241, 22, 23sylancr 645 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ...cfz 11035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator