Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnubfi Unicode version

Theorem nnubfi 26145
Description: A bounded above set of natural numbers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnubfi  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnubfi
StepHypRef Expression
1 fzfi 11238 . 2  |-  ( 0 ... B )  e. 
Fin
2 ssel2 3286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  NN )
3 nnnn0 10160 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  NN0 )
54adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  NN0 )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  e.  NN0 )
7 nnnn0 10160 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
87ad3antlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  B  e.  NN0 )
9 nnre 9939 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
102, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1110adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
12 nnre 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1312ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
14 ltle 9096 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  <  B  ->  x  <_  B )
)
1511, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  B  ->  x  <_  B ) )
1615imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  <_  B )
17 elfz2nn0 11014 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  <->  ( x  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  x  <_  B ) )
186, 8, 16, 17syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  e.  ( 0 ... B
) )
1918ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B
) ) )
2019ralrimiva 2732 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B
) ) )
21 rabss 3363 . . 3  |-  ( { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  ( 0 ... B
)  <->  A. x  e.  A  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B ) ) )
2220, 21sylibr 204 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  (
0 ... B ) )
23 ssfi 7265 . 2  |-  ( ( ( 0 ... B
)  e.  Fin  /\  { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  ( 0 ... B
) )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
241, 22, 23sylancr 645 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2649   {crab 2653    C_ wss 3263   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   RRcr 8922   0cc0 8923    < clt 9053    <_ cle 9054   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ...cfz 10975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator