Theorem nnunb 6070

Description: The set of natural numbers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
nnunb	|- -. E.x e. RR A.y e. NN (y < x \/ y = x)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem nnunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 658	. . . 4 |- -. (A.y e. NN -. x < y /\ -. A.y e. NN -. x < y)
2		oprex 3983	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x - 1) e. V
3		eleq1 1534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (x - 1) -> (y e. RR <-> (x - 1) e. RR))
4		breq1 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (x - 1) -> (y < x <-> (x - 1) < x))
5		breq1 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = (x - 1) -> (y < z <-> (x - 1) < z))
6	5	rexbidv 1664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (x - 1) -> (E.z e. NN y < z <-> E.z e. NN (x - 1) < z))
7	4, 6	imbi12d 626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (x - 1) -> ((y < x -> E.z e. NN y < z) <-> ((x - 1) < x -> E.z e. NN (x - 1) < z)))
8	3, 7	imbi12d 626	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (x - 1) -> ((y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) <-> ((x - 1) e. RR -> ((x - 1) < x -> E.z e. NN (x - 1) < z))))
9	2, 8	cla4v 1868	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> ((x - 1) e. RR -> ((x - 1) < x -> E.z e. NN (x - 1) < z)))
10		ltm1t 5815	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> (x - 1) < x)
11	9, 10	syl7 23	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> ((x - 1) e. RR -> (x e. RR -> E.z e. NN (x - 1) < z)))
12		peano2rem 5442	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> (x - 1) e. RR)
13	11, 12	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> (x e. RR -> (x e. RR -> E.z e. NN (x - 1) < z)))
14	13	pm2.43d 65	. . . . . . . . 9 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> (x e. RR -> E.z e. NN (x - 1) < z))
15		df-rex 1650	. . . . . . . . 9 |- (E.z e. NN (x - 1) < z <-> E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z))
16	14, 15	syl6ib 212	. . . . . . . 8 |- (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> (x e. RR -> E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z)))
17	16	com12 11	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z)))
18		1re 5435	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
19		ltsubaddt 5627	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ 1 e. RR /\ z e. RR) -> ((x - 1) < z <-> x < (z + 1)))
20	18, 19	mp3an2 904	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ z e. RR) -> ((x - 1) < z <-> x < (z + 1)))
21		nnret 5929	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> z e. RR)
22	20, 21	sylan2 451	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ z e. NN) -> ((x - 1) < z <-> x < (z + 1)))
23	22	pm5.32da 649	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> ((z e. NN /\ (x - 1) < z) <-> (z e. NN /\ x < (z + 1))))
24	23	exbidv 1279	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z) <-> E.z(z e. NN /\ x < (z + 1))))
25		oprex 3983	. . . . . . . . . . 11 |- (z + 1) e. V
26		eleq1 1534	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (z + 1) -> (y e. NN <-> (z + 1) e. NN))
27		breq2 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (z + 1) -> (x < y <-> x < (z + 1)))
28	26, 27	anbi12d 628	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (z + 1) -> ((y e. NN /\ x < y) <-> ((z + 1) e. NN /\ x < (z + 1))))
29	25, 28	cla4ev 1869	. . . . . . . . . 10 |- (((z + 1) e. NN /\ x < (z + 1)) -> E.y(y e. NN /\ x < y))
30		peano2nn 5935	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> (z + 1) e. NN)
31	29, 30	sylan 448	. . . . . . . . 9 |- ((z e. NN /\ x < (z + 1)) -> E.y(y e. NN /\ x < y))
32	31	19.23aiv 1295	. . . . . . . 8 |- (E.z(z e. NN /\ x < (z + 1)) -> E.y(y e. NN /\ x < y))
33	24, 32	syl6bi 214	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (E.z(z e. NN /\ (x - 1) < z) -> E.y(y e. NN /\ x < y)))
34	17, 33	syld 27	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> E.y(y e. NN /\ x < y)))
35		df-ral 1649	. . . . . 6 |- (A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z) <-> A.y(y e. RR -> (y < x -> E.z e. NN y < z)))
36		df-ral 1649	. . . . . . . 8 |- (A.y e. NN -. x < y <-> A.y(y e. NN -> -. x < y))
37		alinexa 1042	. . . . . . . 8 |- (A.y(y e. NN -> -. x < y) <-> -. E.y(y e. NN /\ x < y))
38	36, 37	bitr2 174	. . . . . . 7 |- (-. E.y(y e. NN /\ x < y) <-> A.y e. NN -. x < y)
39	38	con1bii 220	. . . . . 6 |- (-. A.y e. NN -. x < y <-> E.y(y e. NN /\ x < y))
40	34, 35, 39	3imtr4g 553	. . . . 5 |- (x e. RR -> (A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z) -> -. A.y e. NN -. x < y))
41	40	anim2d 561	. . . 4 |- (x e. RR -> ((A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z)) -> (A.y e. NN -. x < y /\ -. A.y e. NN -. x < y)))
42	1, 41	mtoi 107	. . 3 |- (x e. RR -> -. (A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z)))
43	42	nrex 1729	. 2 |- -. E.x e. RR (A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z))
44		nnssre 5927	. . 3 |- NN (_ RR
45		1nn 5934	. . . . 5 |- 1 e. NN
46		n0i 2285	. . . . 5 |- (1 e. NN -> -. NN = (/))
47	45, 46	ax-mp 7	. . . 4 |- -. NN = (/)
48		df-ne 1587	. . . 4 |- (NN =/= (/) <-> -. NN = (/))
49	47, 48	mpbir 190	. . 3 |- NN =/= (/)
50		sup2 6051	. . 3 |- ((NN (_ RR /\ NN =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. NN (y < x \/ y = x)) -> E.x e. RR (A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z)))
51	44, 49, 50	mp3an12 906	. 2 |- (E.x e. RR A.y e. NN (y < x \/ y = x) -> E.x e. RR (A.y e. NN -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. NN y < z)))
52	43, 51	mto 106	1 |- -. E.x e. RR A.y e. NN (y < x \/ y = x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237   - cmin 5292  NNcn 5296   < clt 5486

This theorem is referenced by:  arch 6071

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925

Copyright terms: Public domain