MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunifi Unicode version

Theorem nnunifi 7294
Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnunifi  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )

Proof of Theorem nnunifi
StepHypRef Expression
1 unieq 3966 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  =  U. (/) )
2 uni0 3984 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
3 peano1 4804 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
42, 3eqeltri 2457 . . . 4  |-  U. (/)  e.  om
51, 4syl6eqel 2475 . . 3  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  e.  om )
65adantl 453 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =  (/) )  ->  U. S  e.  om )
7 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  om )
8 omsson 4789 . . . . 5  |-  om  C_  On
97, 8syl6ss 3303 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  On )
10 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  Fin )
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  =/=  (/) )
12 ordunifi 7293 . . . 4  |-  ( ( S  C_  On  /\  S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S )
139, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S
)
147, 13sseldd 3292 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  om )
156, 14pm2.61dane 2628 1  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    C_ wss 3263   (/)c0 3571   U.cuni 3957   Oncon0 4522   omcom 4785   Fincfn 7045
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  8048  isf32lem5  8170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049
  Copyright terms: Public domain W3C validator