MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunifi Unicode version

Theorem nnunifi 7124
Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnunifi  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )

Proof of Theorem nnunifi
StepHypRef Expression
1 unieq 3852 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  =  U. (/) )
2 uni0 3870 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
3 peano1 4691 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
42, 3eqeltri 2366 . . . 4  |-  U. (/)  e.  om
51, 4syl6eqel 2384 . . 3  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  e.  om )
65adantl 452 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =  (/) )  ->  U. S  e.  om )
7 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  om )
8 omsson 4676 . . . . 5  |-  om  C_  On
97, 8syl6ss 3204 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  On )
10 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  Fin )
11 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  =/=  (/) )
12 ordunifi 7123 . . . 4  |-  ( ( S  C_  On  /\  S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S )
139, 10, 11, 12syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S
)
147, 13sseldd 3194 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  om )
156, 14pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   Oncon0 4408   omcom 4672   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  7877  isf32lem5  7999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator