MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunifi Unicode version

Theorem nnunifi 7108
Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnunifi  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )

Proof of Theorem nnunifi
StepHypRef Expression
1 unieq 3836 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  =  U. (/) )
2 uni0 3854 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
3 peano1 4675 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
42, 3eqeltri 2353 . . . 4  |-  U. (/)  e.  om
51, 4syl6eqel 2371 . . 3  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  e.  om )
65adantl 452 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =  (/) )  ->  U. S  e.  om )
7 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  om )
8 omsson 4660 . . . . 5  |-  om  C_  On
97, 8syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  On )
10 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  Fin )
11 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  =/=  (/) )
12 ordunifi 7107 . . . 4  |-  ( ( S  C_  On  /\  S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S )
139, 10, 11, 12syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S
)
147, 13sseldd 3181 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  om )
156, 14pm2.61dane 2524 1  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   Oncon0 4392   omcom 4656   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  7861  isf32lem5  7983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator