MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunifi Structured version   Unicode version

Theorem nnunifi 7350
Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnunifi  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )

Proof of Theorem nnunifi
StepHypRef Expression
1 unieq 4016 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  =  U. (/) )
2 uni0 4034 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
3 peano1 4856 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
42, 3eqeltri 2505 . . . 4  |-  U. (/)  e.  om
51, 4syl6eqel 2523 . . 3  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  e.  om )
65adantl 453 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =  (/) )  ->  U. S  e.  om )
7 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  om )
8 omsson 4841 . . . . 5  |-  om  C_  On
97, 8syl6ss 3352 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  On )
10 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  Fin )
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  =/=  (/) )
12 ordunifi 7349 . . . 4  |-  ( ( S  C_  On  /\  S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S )
139, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S
)
147, 13sseldd 3341 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  om )
156, 14pm2.61dane 2676 1  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   Oncon0 4573   omcom 4837   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  8107  isf32lem5  8229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator