MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnuz Structured version   Unicode version

Theorem nnuz 10521
Description: Natural numbers expressed as a set of upper integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnuz  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )

Proof of Theorem nnuz
StepHypRef Expression
1 nnzrab 10309 . 2  |-  NN  =  { k  e.  ZZ  |  1  <_  k }
2 1z 10311 . . 3  |-  1  e.  ZZ
3 uzval 10490 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  1 )  =  { k  e.  ZZ  |  1  <_  k } )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  {
k  e.  ZZ  | 
1  <_  k }
51, 4eqtr4i 2459 1  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   1c1 8991    <_ cle 9121   NNcn 10000   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488
This theorem is referenced by:  elnnuz  10522  uznnssnn  10524  nnwo  10542  nninfm  10556  fseq1p1m1  11122  elfzo1  11173  ltwenn  11302  ser1const  11379  expp1  11388  expmulnbnd  11511  digit1  11513  facnn  11568  fac0  11569  facp1  11571  faclbnd4lem1  11584  bcm1k  11606  bcval5  11609  bcpasc  11612  fz1isolem  11710  seqcoll  11712  seqcoll2  11713  climuni  12346  isercolllem1  12458  isercolllem2  12459  isercoll  12461  sumeq2ii  12487  summolem3  12508  summolem2a  12509  fsum  12514  sum0  12515  sumz  12516  fsumcl2lem  12525  fsumadd  12532  fsummulc2  12567  fsumrelem  12586  o1fsum  12592  isumnn0nn  12622  climcndslem1  12629  climcndslem2  12630  climcnds  12631  divcnv  12633  supcvg  12635  trireciplem  12641  trirecip  12642  expcnv  12643  geo2lim  12652  geoisum1  12656  geoisum1c  12657  mertenslem2  12662  ege2le3  12692  rpnnen2lem3  12816  rpnnen2lem5  12818  rpnnen2lem6  12819  rpnnen2lem7  12820  rpnnen2lem8  12821  rpnnen2lem9  12822  rpnnen2lem11  12824  rpnnen2  12825  ruclem6  12834  bezoutlem2  13039  bezoutlem3  13040  isprm3  13088  phicl2  13157  phibndlem  13159  eulerthlem2  13171  odzcllem  13178  odzdvds  13181  iserodd  13209  pcmptcl  13260  pcmpt  13261  pcmpt2  13262  pcmptdvds  13263  pockthlem  13273  pockthg  13274  unbenlem  13276  prmreclem3  13286  prmreclem4  13287  prmreclem5  13288  prmreclem6  13289  prmrec  13290  1arith  13295  4sqlem13  13325  4sqlem14  13326  4sqlem17  13329  4sqlem18  13330  vdwlem1  13349  vdwlem2  13350  vdwlem3  13351  vdwlem6  13354  vdwlem8  13356  vdwlem10  13358  vdw  13362  vdwnnlem1  13363  vdwnnlem2  13364  vdwnnlem3  13365  2expltfac  13426  prmlem1a  13429  mulgnnp1  14898  mulgnnsubcl  14902  mulgnn0z  14910  mulgnndir  14912  mulgpropd  14923  odlem1  15173  odlem2  15177  gexlem1  15213  gexlem2  15216  gexcl3  15221  sylow1lem1  15232  efgsdmi  15364  efgsrel  15366  efgs1b  15368  efgsp1  15369  mulgnn0di  15448  lt6abl  15504  gsumval3eu  15513  gsumval3  15514  gsumzcl  15518  gsumzaddlem  15526  gsumconst  15532  gsumzmhm  15533  gsumzoppg  15539  zlpirlem2  16769  zlpirlem3  16770  lmcnp  17368  lmmo  17444  1stcelcls  17524  1stccnp  17525  1stckgenlem  17585  1stckgen  17586  imasdsf1olem  18403  lmnn  19216  cmetcaulem  19241  iscmet2  19247  causs  19251  caubl  19260  caublcls  19261  iscmet3i  19264  bcthlem5  19281  ovolsf  19369  ovollb2lem  19384  ovolctb  19386  ovolunlem1a  19392  ovolunlem1  19393  ovoliunlem1  19398  ovoliun  19401  ovoliun2  19402  ovoliunnul  19403  ovolscalem1  19409  ovolicc1  19412  ovolicc2lem2  19414  ovolicc2lem3  19415  ovolicc2lem4  19416  iundisj  19442  iundisj2  19443  voliunlem1  19444  voliunlem2  19445  voliunlem3  19446  iunmbl  19447  volsuplem  19449  volsup  19450  ioombl1lem4  19455  uniioovol  19471  uniioombllem2  19475  uniioombllem3  19477  uniioombllem4  19478  uniioombllem6  19480  vitalilem4  19503  vitalilem5  19504  itg1climres  19606  mbfi1fseqlem6  19612  mbfi1flimlem  19614  mbfmullem2  19616  itg2monolem1  19642  itg2i1fseqle  19646  itg2i1fseq  19647  itg2i1fseq2  19648  itg2addlem  19650  plyeq0lem  20129  vieta1lem2  20228  elqaalem1  20236  elqaalem3  20238  aaliou3lem4  20263  aaliou3lem7  20266  dvtaylp  20286  taylthlem2  20290  pserdvlem2  20344  pserdv2  20346  abelthlem6  20352  abelthlem9  20356  logtayl  20551  logtaylsum  20552  logtayl2  20553  atantayl  20777  leibpilem2  20781  leibpi  20782  birthdaylem2  20791  dfef2  20809  divsqrsumlem  20818  emcllem2  20835  emcllem4  20837  emcllem5  20838  emcllem6  20839  emcllem7  20840  harmonicbnd4  20849  fsumharmonic  20850  wilthlem3  20853  ftalem2  20856  ftalem4  20858  ftalem5  20859  basellem5  20867  basellem6  20868  basellem7  20869  basellem8  20870  basellem9  20871  ppiprm  20934  ppinprm  20935  chtprm  20936  chtnprm  20937  chpp1  20938  vma1  20949  ppiltx  20960  prmorcht  20961  chtlepsi  20990  chtub  20996  fsumvma2  20998  chpchtsum  21003  chpub  21004  logfacbnd3  21007  logexprlim  21009  bclbnd  21064  bposlem3  21070  bposlem4  21071  bposlem5  21072  bposlem6  21073  lgscllem  21087  lgsval2lem  21090  lgsval4a  21102  lgsneg  21103  lgsdir  21114  lgsdilem2  21115  lgsdi  21116  lgsne0  21117  lgsquadlem2  21139  chebbnd1lem1  21163  chebbnd1lem2  21164  chebbnd1lem3  21165  chtppilimlem1  21167  rplogsumlem1  21178  rplogsumlem2  21179  rpvmasumlem  21181  dchrisumlema  21182  dchrisumlem2  21184  dchrisumlem3  21185  dchrmusum2  21188  dchrvmasum2lem  21190  dchrvmasumiflem1  21195  dchrvmaeq0  21198  dchrisum0flblem2  21203  dchrisum0flb  21204  dchrisum0re  21207  dchrisum0lem1b  21209  dchrisum0lem1  21210  dchrisum0lem2a  21211  dchrisum0lem2  21212  dchrisum0lem3  21213  mudivsum  21224  mulogsum  21226  logdivsum  21227  mulog2sumlem2  21229  log2sumbnd  21238  selberg2lem  21244  logdivbnd  21250  pntrsumo1  21259  pntrsumbnd2  21261  pntrlog2bndlem2  21272  pntrlog2bndlem4  21274  pntrlog2bndlem6a  21276  pntpbnd1  21280  pntpbnd2  21281  pntlemh  21293  pntlemq  21295  pntlemr  21296  pntlemj  21297  pntlemf  21299  eupath2lem3  21701  gxnn0suc  21852  nvlmle  22188  ipval2  22203  minvecolem3  22378  minvecolem4b  22380  minvecolem4  22382  h2hcau  22482  h2hlm  22483  hlimadd  22695  hlim0  22738  hhsscms  22779  occllem  22805  chscllem2  23140  nlelchi  23564  opsqrlem4  23646  hmopidmchi  23654  iundisjf  24029  iundisj2f  24030  fzssnn  24147  ssnnssfz  24148  iundisjfi  24152  iundisj2fi  24153  lmlim  24333  rge0scvg  24335  lmxrge0  24337  lmdvg  24338  rnlogblem  24399  esumfzf  24459  esumfsup  24460  esumpcvgval  24468  esumpmono  24469  esumcvg  24476  rrvsum  24712  dstfrvclim1  24735  ballotlemsup  24762  ballotlem1ri  24792  zetacvg  24799  lgamgulmlem4  24816  lgamgulmlem6  24818  lgamgulm2  24820  lgamcvglem  24824  lgamcvg2  24839  gamcvg  24840  gamcvg2lem  24843  regamcl  24845  relgamcl  24846  lgam1  24848  subfacp1lem1  24865  subfacp1lem5  24870  subfacp1lem6  24871  erdszelem7  24883  cvmliftlem5  24976  cvmliftlem7  24978  cvmliftlem10  24981  cvmliftlem13  24983  sinccvglem  25109  sinccvg  25110  circum  25111  divcnvshft  25211  divcnvlin  25212  prodeq2ii  25239  prodmolem3  25259  prodmolem2a  25260  fprod  25267  prod0  25269  prod1  25270  fprodss  25274  fprodser  25275  fprodcl2lem  25276  fprodmul  25284  fproddiv  25285  fprodn0  25303  iprodgam  25319  fallfacval4  25359  faclimlem1  25362  faclimlem2  25363  faclim  25365  iprodfac  25366  faclim2  25367  prednn  25476  eedimeq  25837  axlowdimlem6  25886  axlowdimlem16  25896  axlowdimlem17  25897  axlowdim  25900  bpoly4  26105  mblfinlem2  26244  ovoliunnfl  26248  voliunnfl  26250  volsupnfl  26251  lmclim2  26464  geomcau  26465  heibor1lem  26518  heibor1  26519  bfplem1  26531  bfplem2  26532  rrncmslem  26541  rrncms  26542  eldioph3b  26823  diophin  26831  diophun  26832  diophren  26874  jm3.1lem2  27089  dgraalem  27327  dgraaub  27330  clim1fr1  27703  stoweidlem7  27732  stoweidlem14  27739  stoweidlem20  27745  stoweidlem34  27759  wallispilem5  27794  wallispi  27795  stirlinglem1  27799  stirlinglem5  27803  stirlinglem7  27805  stirlinglem8  27806  stirlinglem10  27808  stirlinglem11  27809  stirlinglem12  27810  stirlinglem13  27811  stirlinglem14  27812  stirlinglem15  27813  stirlingr  27815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-z 10283  df-uz 10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator