MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnuz Unicode version

Theorem nnuz 10263
Description: Natural numbers expressed as a set of upper integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnuz  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )

Proof of Theorem nnuz
StepHypRef Expression
1 nnzrab 10051 . 2  |-  NN  =  { k  e.  ZZ  |  1  <_  k }
2 1z 10053 . . 3  |-  1  e.  ZZ
3 uzval 10232 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  1 )  =  { k  e.  ZZ  |  1  <_  k } )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  {
k  e.  ZZ  | 
1  <_  k }
51, 4eqtr4i 2306 1  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   1c1 8738    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  elnnuz  10264  uznnssnn  10266  nnwo  10284  nninfm  10298  fseq1p1m1  10857  ltwenn  11025  ser1const  11102  expp1  11110  expmulnbnd  11233  digit1  11235  facnn  11290  fac0  11291  facp1  11293  faclbnd4lem1  11306  bcm1k  11327  bcval5  11330  bcpasc  11333  fz1isolem  11399  seqcoll  11401  seqcoll2  11402  climuni  12026  isercolllem1  12138  isercolllem2  12139  isercoll  12141  sumeq2ii  12166  summolem3  12187  summolem2a  12188  fsum  12193  sum0  12194  sumz  12195  fsumcl2lem  12204  fsumadd  12211  fsummulc2  12246  fsumrelem  12265  o1fsum  12271  isumnn0nn  12301  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  climcnds  12310  divcnv  12312  supcvg  12314  trireciplem  12320  trirecip  12321  expcnv  12322  geo2lim  12331  geoisum1  12335  geoisum1c  12336  mertenslem2  12341  ege2le3  12371  rpnnen2lem3  12495  rpnnen2lem5  12497  rpnnen2lem6  12498  rpnnen2lem7  12499  rpnnen2lem8  12500  rpnnen2lem9  12501  rpnnen2lem11  12503  rpnnen2  12504  ruclem6  12513  bezoutlem2  12718  bezoutlem3  12719  isprm3  12767  phicl2  12836  phibndlem  12838  eulerthlem2  12850  odzcllem  12857  odzdvds  12860  iserodd  12888  pcmptcl  12939  pcmpt  12940  pcmpt2  12941  pcmptdvds  12942  pockthlem  12952  pockthg  12953  unbenlem  12955  prmreclem3  12965  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  prmreclem6  12968  prmrec  12969  1arith  12974  4sqlem13  13004  4sqlem14  13005  4sqlem17  13008  4sqlem18  13009  vdwlem1  13028  vdwlem2  13029  vdwlem3  13030  vdwlem6  13033  vdwlem8  13035  vdwlem10  13037  vdw  13041  vdwnnlem1  13042  vdwnnlem2  13043  vdwnnlem3  13044  2expltfac  13105  prmlem1a  13108  mulgnnp1  14575  mulgnnsubcl  14579  mulgnn0z  14587  mulgnndir  14589  mulgpropd  14600  odlem1  14850  odlem2  14854  gexlem1  14890  gexlem2  14893  gexcl3  14898  sylow1lem1  14909  efgsdmi  15041  efgsrel  15043  efgs1b  15045  efgsp1  15046  mulgnn0di  15125  lt6abl  15181  gsumval3eu  15190  gsumval3  15191  gsumzcl  15195  gsumzaddlem  15203  gsumconst  15209  gsumzmhm  15210  gsumzoppg  15216  zlpirlem2  16442  zlpirlem3  16443  lmcnp  17032  lmmo  17108  1stcelcls  17187  1stccnp  17188  1stckgenlem  17248  1stckgen  17249  imasdsf1olem  17937  lmnn  18689  cmetcaulem  18714  iscmet2  18720  causs  18724  caubl  18733  caublcls  18734  iscmet3i  18737  bcthlem5  18750  ovolsf  18832  ovollb2lem  18847  ovolctb  18849  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856  ovoliunlem1  18861  ovoliun  18864  ovoliun2  18865  ovoliunnul  18866  ovolscalem1  18872  ovolicc1  18875  ovolicc2lem2  18877  ovolicc2lem3  18878  ovolicc2lem4  18879  iundisj  18905  iundisj2  18906  voliunlem1  18907  voliunlem2  18908  voliunlem3  18909  iunmbl  18910  volsuplem  18912  volsup  18913  ioombl1lem4  18918  uniioovol  18934  uniioombllem2  18938  uniioombllem3  18940  uniioombllem4  18941  uniioombllem6  18943  vitalilem4  18966  vitalilem5  18967  itg1climres  19069  mbfi1fseqlem6  19075  mbfi1flimlem  19077  mbfmullem2  19079  itg2monolem1  19105  itg2i1fseqle  19109  itg2i1fseq  19110  itg2i1fseq2  19111  itg2addlem  19113  plyeq0lem  19592  vieta1lem2  19691  elqaalem1  19699  elqaalem3  19701  aaliou3lem4  19726  aaliou3lem7  19729  dvtaylp  19749  taylthlem2  19753  pserdvlem2  19804  pserdv2  19806  abelthlem6  19812  abelthlem9  19816  logtayl  20007  logtaylsum  20008  logtayl2  20009  atantayl  20233  leibpilem2  20237  leibpi  20238  birthdaylem2  20247  dfef2  20265  divsqrsumlem  20274  emcllem2  20290  emcllem4  20292  emcllem5  20293  emcllem6  20294  emcllem7  20295  harmonicbnd4  20304  fsumharmonic  20305  wilthlem3  20308  ftalem2  20311  ftalem4  20313  ftalem5  20314  basellem5  20322  basellem6  20323  basellem7  20324  basellem8  20325  basellem9  20326  ppiprm  20389  ppinprm  20390  chtprm  20391  chtnprm  20392  chpp1  20393  vma1  20404  ppiltx  20415  prmorcht  20416  chtlepsi  20445  chtub  20451  fsumvma2  20453  chpchtsum  20458  chpub  20459  logfacbnd3  20462  logexprlim  20464  bclbnd  20519  bposlem3  20525  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem6  20528  lgscllem  20542  lgsval2lem  20545  lgsval4a  20557  lgsneg  20558  lgsdir  20569  lgsdilem2  20570  lgsdi  20571  lgsne0  20572  lgsquadlem2  20594  chebbnd1lem1  20618  chebbnd1lem2  20619  chebbnd1lem3  20620  chtppilimlem1  20622  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisumlema  20637  dchrisumlem2  20639  dchrisumlem3  20640  dchrmusum2  20643  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmaeq0  20653  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0flb  20659  dchrisum0re  20662  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  mudivsum  20679  mulogsum  20681  logdivsum  20682  mulog2sumlem2  20684  log2sumbnd  20693  selberg2lem  20699  logdivbnd  20705  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd2  20716  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem6a  20731  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntlemh  20748  pntlemq  20750  pntlemr  20751  pntlemj  20752  pntlemf  20754  gxnn0suc  20931  nvlmle  21265  ipval2  21280  minvecolem3  21455  minvecolem4b  21457  minvecolem4  21459  h2hcau  21559  h2hlm  21560  hlimadd  21772  hlim0  21815  hhsscms  21856  occllem  21882  chscllem2  22217  nlelchi  22641  opsqrlem4  22723  hmopidmchi  22731  ballotlemsup  23063  ballotlem1ri  23093  fzssnn  23276  ssnnssfz  23277  elfzo1  23279  iundisjfi  23363  iundisj2fi  23364  iundisjf  23365  iundisj2f  23366  lmlim  23371  rge0scvg  23373  lmxrge0  23375  lmdvg  23376  rnlogblem  23401  esumpcvgval  23446  esumpmono  23447  esumcvg  23454  dstfrvclim1  23678  zetacvg  23689  subfacp1lem1  23710  subfacp1lem5  23715  subfacp1lem6  23716  erdszelem7  23728  cvmliftlem5  23820  cvmliftlem7  23822  cvmliftlem10  23825  cvmliftlem13  23827  eupath2lem3  23903  sinccvglem  24005  sinccvg  24006  circum  24007  prednn  24201  eedimeq  24526  axlowdimlem6  24575  axlowdimlem16  24585  axlowdimlem17  24586  axlowdim  24589  bpoly4  24794  cntrset  25602  lmclim2  26474  geomcau  26475  heibor1lem  26533  heibor1  26534  bfplem1  26546  bfplem2  26547  rrncmslem  26556  rrncms  26557  eldioph3b  26844  diophin  26852  diophun  26853  diophren  26896  jm3.1lem2  27111  dgraalem  27350  dgraaub  27353  clim1fr1  27727  stoweidlem7  27756  stoweidlem14  27763  stoweidlem20  27769  stoweidlem34  27783  wallispilem5  27818  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  wallispi2lem2  27821  wallispi2  27822  stirlinglem1  27823  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  stirlinglem8  27830  stirlinglem10  27832  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834  stirlinglem13  27835  stirlinglem14  27836  stirlinglem15  27837  stirlingr  27839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator