MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnuz Unicode version

Theorem nnuz 10279
Description: Natural numbers expressed as a set of upper integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnuz  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )

Proof of Theorem nnuz
StepHypRef Expression
1 nnzrab 10067 . 2  |-  NN  =  { k  e.  ZZ  |  1  <_  k }
2 1z 10069 . . 3  |-  1  e.  ZZ
3 uzval 10248 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  1 )  =  { k  e.  ZZ  |  1  <_  k } )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  {
k  e.  ZZ  | 
1  <_  k }
51, 4eqtr4i 2319 1  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   1c1 8754    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  elnnuz  10280  uznnssnn  10282  nnwo  10300  nninfm  10314  fseq1p1m1  10873  ltwenn  11041  ser1const  11118  expp1  11126  expmulnbnd  11249  digit1  11251  facnn  11306  fac0  11307  facp1  11309  faclbnd4lem1  11322  bcm1k  11343  bcval5  11346  bcpasc  11349  fz1isolem  11415  seqcoll  11417  seqcoll2  11418  climuni  12042  isercolllem1  12154  isercolllem2  12155  isercoll  12157  sumeq2ii  12182  summolem3  12203  summolem2a  12204  fsum  12209  sum0  12210  sumz  12211  fsumcl2lem  12220  fsumadd  12227  fsummulc2  12262  fsumrelem  12281  o1fsum  12287  isumnn0nn  12317  climcndslem1  12324  climcndslem2  12325  climcnds  12326  divcnv  12328  supcvg  12330  trireciplem  12336  trirecip  12337  expcnv  12338  geo2lim  12347  geoisum1  12351  geoisum1c  12352  mertenslem2  12357  ege2le3  12387  rpnnen2lem3  12511  rpnnen2lem5  12513  rpnnen2lem6  12514  rpnnen2lem7  12515  rpnnen2lem8  12516  rpnnen2lem9  12517  rpnnen2lem11  12519  rpnnen2  12520  ruclem6  12529  bezoutlem2  12734  bezoutlem3  12735  isprm3  12783  phicl2  12852  phibndlem  12854  eulerthlem2  12866  odzcllem  12873  odzdvds  12876  iserodd  12904  pcmptcl  12955  pcmpt  12956  pcmpt2  12957  pcmptdvds  12958  pockthlem  12968  pockthg  12969  unbenlem  12971  prmreclem3  12981  prmreclem4  12982  prmreclem5  12983  prmreclem6  12984  prmrec  12985  1arith  12990  4sqlem13  13020  4sqlem14  13021  4sqlem17  13024  4sqlem18  13025  vdwlem1  13044  vdwlem2  13045  vdwlem3  13046  vdwlem6  13049  vdwlem8  13051  vdwlem10  13053  vdw  13057  vdwnnlem1  13058  vdwnnlem2  13059  vdwnnlem3  13060  2expltfac  13121  prmlem1a  13124  mulgnnp1  14591  mulgnnsubcl  14595  mulgnn0z  14603  mulgnndir  14605  mulgpropd  14616  odlem1  14866  odlem2  14870  gexlem1  14906  gexlem2  14909  gexcl3  14914  sylow1lem1  14925  efgsdmi  15057  efgsrel  15059  efgs1b  15061  efgsp1  15062  mulgnn0di  15141  lt6abl  15197  gsumval3eu  15206  gsumval3  15207  gsumzcl  15211  gsumzaddlem  15219  gsumconst  15225  gsumzmhm  15226  gsumzoppg  15232  zlpirlem2  16458  zlpirlem3  16459  lmcnp  17048  lmmo  17124  1stcelcls  17203  1stccnp  17204  1stckgenlem  17264  1stckgen  17265  imasdsf1olem  17953  lmnn  18705  cmetcaulem  18730  iscmet2  18736  causs  18740  caubl  18749  caublcls  18750  iscmet3i  18753  bcthlem5  18766  ovolsf  18848  ovollb2lem  18863  ovolctb  18865  ovolunlem1a  18871  ovolunlem1  18872  ovoliunlem1  18877  ovoliun  18880  ovoliun2  18881  ovoliunnul  18882  ovolscalem1  18888  ovolicc1  18891  ovolicc2lem2  18893  ovolicc2lem3  18894  ovolicc2lem4  18895  iundisj  18921  iundisj2  18922  voliunlem1  18923  voliunlem2  18924  voliunlem3  18925  iunmbl  18926  volsuplem  18928  volsup  18929  ioombl1lem4  18934  uniioovol  18950  uniioombllem2  18954  uniioombllem3  18956  uniioombllem4  18957  uniioombllem6  18959  vitalilem4  18982  vitalilem5  18983  itg1climres  19085  mbfi1fseqlem6  19091  mbfi1flimlem  19093  mbfmullem2  19095  itg2monolem1  19121  itg2i1fseqle  19125  itg2i1fseq  19126  itg2i1fseq2  19127  itg2addlem  19129  plyeq0lem  19608  vieta1lem2  19707  elqaalem1  19715  elqaalem3  19717  aaliou3lem4  19742  aaliou3lem7  19745  dvtaylp  19765  taylthlem2  19769  pserdvlem2  19820  pserdv2  19822  abelthlem6  19828  abelthlem9  19832  logtayl  20023  logtaylsum  20024  logtayl2  20025  atantayl  20249  leibpilem2  20253  leibpi  20254  birthdaylem2  20263  dfef2  20281  divsqrsumlem  20290  emcllem2  20306  emcllem4  20308  emcllem5  20309  emcllem6  20310  emcllem7  20311  harmonicbnd4  20320  fsumharmonic  20321  wilthlem3  20324  ftalem2  20327  ftalem4  20329  ftalem5  20330  basellem5  20338  basellem6  20339  basellem7  20340  basellem8  20341  basellem9  20342  ppiprm  20405  ppinprm  20406  chtprm  20407  chtnprm  20408  chpp1  20409  vma1  20420  ppiltx  20431  prmorcht  20432  chtlepsi  20461  chtub  20467  fsumvma2  20469  chpchtsum  20474  chpub  20475  logfacbnd3  20478  logexprlim  20480  bclbnd  20535  bposlem3  20541  bposlem4  20542  bposlem5  20543  bposlem6  20544  lgscllem  20558  lgsval2lem  20561  lgsval4a  20573  lgsneg  20574  lgsdir  20585  lgsdilem2  20586  lgsdi  20587  lgsne0  20588  lgsquadlem2  20610  chebbnd1lem1  20634  chebbnd1lem2  20635  chebbnd1lem3  20636  chtppilimlem1  20638  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrisumlema  20653  dchrisumlem2  20655  dchrisumlem3  20656  dchrmusum2  20659  dchrvmasum2lem  20661  dchrvmasumiflem1  20666  dchrvmaeq0  20669  dchrisum0flblem2  20674  dchrisum0flb  20675  dchrisum0re  20678  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  dchrisum0lem2  20683  dchrisum0lem3  20684  mudivsum  20695  mulogsum  20697  logdivsum  20698  mulog2sumlem2  20700  log2sumbnd  20709  selberg2lem  20715  logdivbnd  20721  pntrsumo1  20730  pntrsumbnd2  20732  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem6a  20747  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  pntlemh  20764  pntlemq  20766  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pntlemf  20770  gxnn0suc  20947  nvlmle  21281  ipval2  21296  minvecolem3  21471  minvecolem4b  21473  minvecolem4  21475  h2hcau  21575  h2hlm  21576  hlimadd  21788  hlim0  21831  hhsscms  21872  occllem  21898  chscllem2  22233  nlelchi  22657  opsqrlem4  22739  hmopidmchi  22747  ballotlemsup  23079  ballotlem1ri  23109  fzssnn  23291  ssnnssfz  23292  elfzo1  23294  iundisjfi  23378  iundisj2fi  23379  iundisjf  23380  iundisj2f  23381  lmlim  23386  rge0scvg  23388  lmxrge0  23390  lmdvg  23391  rnlogblem  23416  esumpcvgval  23461  esumpmono  23462  esumcvg  23469  dstfrvclim1  23693  zetacvg  23704  subfacp1lem1  23725  subfacp1lem5  23730  subfacp1lem6  23731  erdszelem7  23743  cvmliftlem5  23835  cvmliftlem7  23837  cvmliftlem10  23840  cvmliftlem13  23842  eupath2lem3  23918  sinccvglem  24020  sinccvg  24021  circum  24022  faclimlem3  24119  faclimlem5  24121  faclim  24126  cprodeq2ii  24135  prodmolem3  24156  prodmolem2a  24157  fprod  24164  cprod0  24168  prod1  24169  prednn  24272  eedimeq  24598  axlowdimlem6  24647  axlowdimlem16  24657  axlowdimlem17  24658  axlowdim  24661  bpoly4  24866  ovoliunnfl  25001  cntrset  25705  lmclim2  26577  geomcau  26578  heibor1lem  26636  heibor1  26637  bfplem1  26649  bfplem2  26650  rrncmslem  26659  rrncms  26660  eldioph3b  26947  diophin  26955  diophun  26956  diophren  26999  jm3.1lem2  27214  dgraalem  27453  dgraaub  27456  clim1fr1  27830  stoweidlem7  27859  stoweidlem14  27866  stoweidlem20  27872  stoweidlem34  27886  wallispilem5  27921  wallispi  27922  wallispi2lem1  27923  wallispi2lem2  27924  wallispi2  27925  stirlinglem1  27926  stirlinglem5  27930  stirlinglem7  27932  stirlinglem8  27933  stirlinglem10  27935  stirlinglem11  27936  stirlinglem12  27937  stirlinglem13  27938  stirlinglem14  27939  stirlinglem15  27940  stirlingr  27942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator