Theorem nnwof 6460

Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element. This version allows x and y to be present in A as long as they are effectively not free.

Hypotheses

Ref	Expression
nnwof.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
nnwof.2	|- (z e. A -> A.y z e. A)

Assertion

Ref	Expression
nnwof	|- ((A (_ NN /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A x <_ y)

Distinct variable groups:   x,y,z   z,A

Proof of Theorem nnwof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnwo 6459	. 2 |- ((A (_ NN /\ A =/= (/)) -> E.w e. A A.v e. A w <_ v)
2		ax-17 973	. . . . . . . . . 10 |- (z e. v -> A.y z e. v)
3		nnwof.2	. . . . . . . . . 10 |- (z e. A -> A.y z e. A)
4	2, 3	hbel 1569	. . . . . . . . 9 |- (v e. A -> A.y v e. A)
5		ax-17 973	. . . . . . . . 9 |- (w <_ v -> A.y w <_ v)
6	4, 5	hbim 1009	. . . . . . . 8 |- ((v e. A -> w <_ v) -> A.y(v e. A -> w <_ v))
7		ax-17 973	. . . . . . . 8 |- ((y e. A -> w <_ y) -> A.v(y e. A -> w <_ y))
8		eleq1 1537	. . . . . . . . 9 |- (v = y -> (v e. A <-> y e. A))
9		breq2 2628	. . . . . . . . 9 |- (v = y -> (w <_ v <-> w <_ y))
10	8, 9	imbi12d 628	. . . . . . . 8 |- (v = y -> ((v e. A -> w <_ v) <-> (y e. A -> w <_ y)))
11	6, 7, 10	cbval 1167	. . . . . . 7 |- (A.v(v e. A -> w <_ v) <-> A.y(y e. A -> w <_ y))
12	11	anbi2i 482	. . . . . 6 |- ((w e. A /\ A.v(v e. A -> w <_ v)) <-> (w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)))
13	12	exbii 1053	. . . . 5 |- (E.w(w e. A /\ A.v(v e. A -> w <_ v)) <-> E.w(w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)))
14		ax-17 973	. . . . . . . 8 |- (z e. w -> A.x z e. w)
15		nnwof.1	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> A.x z e. A)
16	14, 15	hbel 1569	. . . . . . 7 |- (w e. A -> A.x w e. A)
17		ax-17 973	. . . . . . . . . 10 |- (z e. y -> A.x z e. y)
18	17, 15	hbel 1569	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> A.x y e. A)
19		ax-17 973	. . . . . . . . 9 |- (w <_ y -> A.x w <_ y)
20	18, 19	hbim 1009	. . . . . . . 8 |- ((y e. A -> w <_ y) -> A.x(y e. A -> w <_ y))
21	20	hbal 1007	. . . . . . 7 |- (A.y(y e. A -> w <_ y) -> A.xA.y(y e. A -> w <_ y))
22	16, 21	hban 1011	. . . . . 6 |- ((w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)) -> A.x(w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)))
23		ax-17 973	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)) -> A.w(x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)))
24		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- (w = x -> (w e. A <-> x e. A))
25		breq1 2627	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> (w <_ y <-> x <_ y))
26	25	imbi2d 614	. . . . . . . 8 |- (w = x -> ((y e. A -> w <_ y) <-> (y e. A -> x <_ y)))
27	26	albidv 1280	. . . . . . 7 |- (w = x -> (A.y(y e. A -> w <_ y) <-> A.y(y e. A -> x <_ y)))
28	24, 27	anbi12d 630	. . . . . 6 |- (w = x -> ((w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)) <-> (x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y))))
29	22, 23, 28	cbvex 1168	. . . . 5 |- (E.w(w e. A /\ A.y(y e. A -> w <_ y)) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)))
30	13, 29	bitr 173	. . . 4 |- (E.w(w e. A /\ A.v(v e. A -> w <_ v)) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)))
31		df-rex 1653	. . . 4 |- (E.w e. A A.v(v e. A -> w <_ v) <-> E.w(w e. A /\ A.v(v e. A -> w <_ v)))
32		df-rex 1653	. . . 4 |- (E.x e. A A.y(y e. A -> x <_ y) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. A -> x <_ y)))
33	30, 31, 32	3bitr4 183	. . 3 |- (E.w e. A A.v(v e. A -> w <_ v) <-> E.x e. A A.y(y e. A -> x <_ y))
34		df-ral 1652	. . . 4 |- (A.v e. A w <_ v <-> A.v(v e. A -> w <_ v))
35	34	rexbii 1671	. . 3 |- (E.w e. A A.v e. A w <_ v <-> E.w e. A A.v(v e. A -> w <_ v))
36		df-ral 1652	. . . 4 |- (A.y e. A x <_ y <-> A.y(y e. A -> x <_ y))
37	36	rexbii 1671	. . 3 |- (E.x e. A A.y e. A x <_ y <-> E.x e. A A.y(y e. A -> x <_ y))
38	33, 35, 37	3bitr4 183	. 2 |- (E.w e. A A.v e. A w <_ v <-> E.x e. A A.y e. A x <_ y)
39	1, 38	sylib 198	1 |- ((A (_ NN /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050  (/)c0 2283   class class class wbr 2624   <_ cle 5307  NNcn 5308

This theorem is referenced by:  nnwos 6461

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-uz 6419

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