MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnwof Structured version   Unicode version

Theorem nnwof 10548
Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element. This version allows  x and  y to be present in  A as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnwof.1  |-  F/_ x A
nnwof.2  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
nnwof  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem nnwof
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnwo 10547 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  A  A. v  e.  A  w  <_  v )
2 nfcv 2574 . . 3  |-  F/_ w A
3 nnwof.1 . . 3  |-  F/_ x A
4 nfv 1630 . . . 4  |-  F/ x  w  <_  v
53, 4nfral 2761 . . 3  |-  F/ x A. v  e.  A  w  <_  v
6 nfv 1630 . . 3  |-  F/ w A. y  e.  A  x  <_  y
7 breq1 4218 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
w  <_  v  <->  x  <_  v ) )
87ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  ( A. v  e.  A  w  <_  v  <->  A. v  e.  A  x  <_  v ) )
9 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ v A
10 nnwof.2 . . . . 5  |-  F/_ y A
11 nfv 1630 . . . . 5  |-  F/ y  x  <_  v
12 nfv 1630 . . . . 5  |-  F/ v  x  <_  y
13 breq2 4219 . . . . 5  |-  ( v  =  y  ->  (
x  <_  v  <->  x  <_  y ) )
149, 10, 11, 12, 13cbvralf 2928 . . . 4  |-  ( A. v  e.  A  x  <_  v  <->  A. y  e.  A  x  <_  y )
158, 14syl6bb 254 . . 3  |-  ( w  =  x  ->  ( A. v  e.  A  w  <_  v  <->  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
162, 3, 5, 6, 15cbvrexf 2929 . 2  |-  ( E. w  e.  A  A. v  e.  A  w  <_  v  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
171, 16sylib 190 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   F/_wnfc 2561    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4215    <_ cle 9126   NNcn 10005
This theorem is referenced by:  nnwos  10549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494
  Copyright terms: Public domain W3C validator