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Theorem nnwos 10302
Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypothesis
Ref Expression
nnwos.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
nnwos  |-  ( E. x  e.  NN  ph  ->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem nnwos
StepHypRef Expression
1 nfrab1 2733 . . 3  |-  F/_ x { x  e.  NN  |  ph }
2 nfcv 2432 . . 3  |-  F/_ y { x  e.  NN  |  ph }
31, 2nnwof 10301 . 2  |-  ( ( { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\ 
{ x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y )
4 ssrab2 3271 . . . 4  |-  { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN
54biantrur 492 . . 3  |-  ( { x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/)  <->  ( {
x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\  {
x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) ) )
6 rabn0 3487 . . 3  |-  ( { x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  NN  ph )
75, 6bitr3i 242 . 2  |-  ( ( { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\ 
{ x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  NN  ph )
8 df-rex 2562 . . 3  |-  ( E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  E. x
( x  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph } x  <_ 
y ) )
9 rabid 2729 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( x  e.  NN  /\  ph ) )
10 df-ral 2561 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  A. y
( y  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y ) )
11 nnwos.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1211elrab 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( y  e.  NN  /\  ps ) )
1312imbi1i 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  ( ( y  e.  NN  /\ 
ps )  ->  x  <_  y ) )
14 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\ 
ps )  ->  x  <_  y )  <->  ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y )
) )
1513, 14bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
1615albii 1556 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
1710, 16bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
189, 17anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  {
x  e.  NN  |  ph } x  <_  y
)  <->  ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
1918exbii 1572 . . 3  |-  ( E. x ( x  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y )  <->  E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
20 df-ral 2561 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
)  <->  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
2120anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) )  <->  ( (
x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
22 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2321, 22bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y )
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2423exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )  <->  E. x
( x  e.  NN  /\  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) ) )
25 df-rex 2562 . . . 4  |-  ( E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) )  <->  E. x ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2624, 25bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
278, 19, 263bitri 262 . 2  |-  ( E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
283, 7, 273imtr3i 256 1  |-  ( E. x  e.  NN  ph  ->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    <_ cle 8884   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  indstr  10303  infpnlem2  12974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
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