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Theorem nnwos 10286
Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypothesis
Ref Expression
nnwos.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
nnwos  |-  ( E. x  e.  NN  ph  ->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem nnwos
StepHypRef Expression
1 nfrab1 2720 . . 3  |-  F/_ x { x  e.  NN  |  ph }
2 nfcv 2419 . . 3  |-  F/_ y { x  e.  NN  |  ph }
31, 2nnwof 10285 . 2  |-  ( ( { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\ 
{ x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y )
4 ssrab2 3258 . . . 4  |-  { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN
54biantrur 492 . . 3  |-  ( { x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/)  <->  ( {
x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\  {
x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) ) )
6 rabn0 3474 . . 3  |-  ( { x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  NN  ph )
75, 6bitr3i 242 . 2  |-  ( ( { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\ 
{ x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  NN  ph )
8 df-rex 2549 . . 3  |-  ( E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  E. x
( x  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph } x  <_ 
y ) )
9 rabid 2716 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( x  e.  NN  /\  ph ) )
10 df-ral 2548 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  A. y
( y  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y ) )
11 nnwos.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1211elrab 2923 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( y  e.  NN  /\  ps ) )
1312imbi1i 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  ( ( y  e.  NN  /\ 
ps )  ->  x  <_  y ) )
14 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\ 
ps )  ->  x  <_  y )  <->  ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y )
) )
1513, 14bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
1615albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
1710, 16bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
189, 17anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  {
x  e.  NN  |  ph } x  <_  y
)  <->  ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
1918exbii 1569 . . 3  |-  ( E. x ( x  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y )  <->  E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
20 df-ral 2548 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
)  <->  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
2120anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) )  <->  ( (
x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
22 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2321, 22bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y )
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2423exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )  <->  E. x
( x  e.  NN  /\  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) ) )
25 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) )  <->  E. x ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2624, 25bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
278, 19, 263bitri 262 . 2  |-  ( E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
283, 7, 273imtr3i 256 1  |-  ( E. x  e.  NN  ph  ->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    <_ cle 8868   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  indstr  10287  infpnlem2  12958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
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