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Theorem nnwos 10546
Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypothesis
Ref Expression
nnwos.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
nnwos  |-  ( E. x  e.  NN  ph  ->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem nnwos
StepHypRef Expression
1 nfrab1 2890 . . 3  |-  F/_ x { x  e.  NN  |  ph }
2 nfcv 2574 . . 3  |-  F/_ y { x  e.  NN  |  ph }
31, 2nnwof 10545 . 2  |-  ( ( { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\ 
{ x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y )
4 ssrab2 3430 . . . 4  |-  { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN
54biantrur 494 . . 3  |-  ( { x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/)  <->  ( {
x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\  {
x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) ) )
6 rabn0 3649 . . 3  |-  ( { x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  NN  ph )
75, 6bitr3i 244 . 2  |-  ( ( { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\ 
{ x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  NN  ph )
8 df-rex 2713 . . 3  |-  ( E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  E. x
( x  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph } x  <_ 
y ) )
9 rabid 2886 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( x  e.  NN  /\  ph ) )
10 df-ral 2712 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  A. y
( y  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y ) )
11 nnwos.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1211elrab 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( y  e.  NN  /\  ps ) )
1312imbi1i 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  ( ( y  e.  NN  /\ 
ps )  ->  x  <_  y ) )
14 impexp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\ 
ps )  ->  x  <_  y )  <->  ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y )
) )
1513, 14bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
1615albii 1576 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
1710, 16bitri 242 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
189, 17anbi12i 680 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  {
x  e.  NN  |  ph } x  <_  y
)  <->  ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
1918exbii 1593 . . 3  |-  ( E. x ( x  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y )  <->  E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
20 df-ral 2712 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
)  <->  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
2120anbi2i 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) )  <->  ( (
x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
22 anass 632 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2321, 22bitr3i 244 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y )
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2423exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )  <->  E. x
( x  e.  NN  /\  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) ) )
25 df-rex 2713 . . . 4  |-  ( E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) )  <->  E. x ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2624, 25bitr4i 245 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
278, 19, 263bitri 264 . 2  |-  ( E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
283, 7, 273imtr3i 258 1  |-  ( E. x  e.  NN  ph  ->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214    <_ cle 9123   NNcn 10002
This theorem is referenced by:  indstr  10547  infpnlem2  13281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491
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