MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnz Structured version   Unicode version

Theorem nnz 10303
Description: A natural number is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnz  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnz
StepHypRef Expression
1 nnssz 10301 . 2  |-  NN  C_  ZZ
21sseli 3344 1  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   NNcn 10000   ZZcz 10282
This theorem is referenced by:  elnnz1  10307  znegcl  10313  nnleltp1  10329  nnltp1le  10330  nnlem1lt  10338  nnltlem1  10339  prime  10350  nneo  10353  zeo  10355  uzindOLD  10364  btwnz  10372  eluz2b2  10548  qaddcl  10590  qreccl  10594  elfz1end  11081  fznn  11115  elfzo0  11171  elfzo1  11173  quoremz  11236  intfracq  11240  fznnfl  11243  zmodcl  11266  zmodfz  11268  zmodfzo  11269  expnnval  11385  mulexpz  11420  nnesq  11503  expnlbnd  11509  expnlbnd2  11510  digit2  11512  faclbnd  11581  bc0k  11602  bcval5  11609  fz1isolem  11710  seqcoll  11712  absexpz  12110  climuni  12346  isercoll  12461  climcnds  12631  arisum  12639  trireciplem  12641  expcnv  12643  geo2sum  12650  geo2lim  12652  0.999...  12658  geoihalfsum  12659  rpnnen2lem6  12819  rpnnen2lem9  12822  rpnnen2lem10  12823  dvdsval3  12856  nndivdvds  12858  dvdsle  12895  dvdseq  12897  fzm1ndvds  12901  dvdsfac  12904  oexpneg  12911  divalg2  12925  divalgmod  12926  ndvdsadd  12928  modgcd  13036  gcddiv  13049  gcdmultiple  13050  gcdmultiplez  13051  gcdeq  13052  rpmulgcd  13055  rplpwr  13056  rppwr  13057  sqgcd  13058  dvdssqlem  13059  dvdssq  13060  eucalginv  13075  1idssfct  13085  isprm3  13088  prmind2  13090  qredeq  13106  qredeu  13107  isprm6  13109  divgcdodd  13119  divnumden  13140  divdenle  13141  nn0gcdsq  13144  phicl2  13157  phiprmpw  13165  eulerthlem2  13171  pythagtriplem3  13192  pythagtriplem4  13193  pythagtriplem6  13195  pythagtriplem7  13196  pythagtriplem8  13197  pythagtriplem9  13198  pythagtriplem11  13199  pythagtriplem13  13201  pythagtriplem15  13203  pythagtriplem19  13207  pythagtrip  13208  iserodd  13209  pclem  13212  pccl  13223  pcdiv  13226  pcqcl  13230  pcdvds  13237  pcndvds  13239  pcndvds2  13241  pcelnn  13243  pcz  13254  pcmpt  13261  fldivp1  13266  pcfac  13268  infpnlem1  13278  prmunb  13282  prmreclem1  13284  1arith  13295  ram0  13390  mulgnn  14896  ghmmulg  15018  dfod2  15200  gexdvds  15218  gexnnod  15222  gexex  15468  mulgass2  15710  qsssubdrg  16758  prmirredlem  16773  znidomb  16842  znrrg  16846  lmmo  17444  1stckgenlem  17585  imasdsf1olem  18403  clmmulg  19118  cmetcaulem  19241  ovolunlem1a  19392  ovolicc2lem4  19416  mbfi1fseqlem6  19612  dvexp3  19862  dgreq0  20183  elqaalem2  20237  aaliou3lem1  20259  aaliou3lem2  20260  aaliou3lem3  20261  aaliou3lem9  20267  pserdvlem2  20344  logtayl2  20553  root1eq1  20639  root1cj  20640  atantayl2  20778  birthdaylem2  20791  birthdaylem3  20792  emcllem5  20838  basellem2  20864  basellem3  20865  basellem5  20867  sgmss  20889  issqf  20919  sgmnncl  20930  prmorcht  20961  mumullem1  20962  mumullem2  20963  sqff1o  20965  dvdsdivcl  20966  dvdsflsumcom  20973  muinv  20978  vmalelog  20989  chtublem  20995  vmasum  21000  logfac2  21001  logfaclbnd  21006  bclbnd  21064  bposlem5  21072  lgsval4a  21102  lgssq  21119  lgssq2  21120  lgsdchr  21132  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  lgsquad3  21145  rplogsumlem1  21178  rplogsumlem2  21179  dchrisumlem2  21184  dchrmusumlema  21187  dchrmusum2  21188  dchrvmasumiflem1  21195  dchrvmaeq0  21198  dchrisum0flblem2  21203  dchrisum0re  21207  dchrisum0lema  21208  dchrisum0lem1b  21209  dchrisum0lem2a  21211  logdivbnd  21250  pntrsumbnd2  21261  ostth2lem1  21312  ostth2lem3  21329  ostth3  21332  gxpval  21847  gxcom  21857  gxinv  21858  gxid  21861  gxmodid  21867  gxdi  21884  bcm1n  24151  pnfinf  24253  esumcvg  24476  erdszelem7  24883  climuzcnv  25108  elfzm12  25112  zmodid2  25114  fznatpl1  25198  axlowdimlem13  25893  mblfinlem2  26244  nn0prpwlem  26325  fzmul  26444  incsequz  26452  geomcau  26465  heibor1lem  26518  bfplem2  26532  fzsplit1nn0  26812  irrapxlem1  26885  pellexlem5  26896  rmynn  27021  jm2.24nn  27024  jm2.17c  27027  congrep  27038  congabseq  27039  acongrep  27045  acongeq  27048  jm2.18  27059  jm2.23  27067  jm2.20nn  27068  jm2.26lem3  27072  jm2.26  27073  jm2.15nn0  27074  jm2.16nn0  27075  jm2.27dlem2  27081  rmydioph  27085  jm3.1  27091  expdiophlem1  27092  expdioph  27094  idomodle  27489  hashgcdlem  27493  hashgcdeq  27494  phisum  27495  proot1ex  27497  stoweidlem7  27732  stoweidlem17  27742  wallispilem4  27793  stirlinglem2  27800  stirlinglem3  27801  stirlinglem4  27802  stirlinglem12  27810  stirlinglem13  27811  stirlinglem14  27812  stirlinglem15  27813  stirlingr  27815  ubmelfzo  28126  ubmelm1fzo  28127  fzo1fzo0n0  28128  subsubelfzo0  28135  2ffzoeq  28140  modidmul0  28160  cshwidx  28242  cshwssizelem4a  28283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-z 10283
  Copyright terms: Public domain W3C validator