MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnz Unicode version

Theorem nnz 10267
Description: A natural number is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnz  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnz
StepHypRef Expression
1 nnssz 10265 . 2  |-  NN  C_  ZZ
21sseli 3312 1  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   NNcn 9964   ZZcz 10246
This theorem is referenced by:  elnnz1  10271  znegcl  10277  nnleltp1  10293  nnltp1le  10294  nnlem1lt  10302  nnltlem1  10303  prime  10314  nneo  10317  zeo  10319  uzindOLD  10328  btwnz  10336  eluz2b2  10512  qaddcl  10554  qreccl  10558  elfz1end  11045  fznn  11078  elfzo0  11134  elfzo1  11136  quoremz  11199  intfracq  11203  fznnfl  11206  zmodcl  11229  zmodfz  11231  zmodfzo  11232  expnnval  11348  mulexpz  11383  nnesq  11466  expnlbnd  11472  expnlbnd2  11473  digit2  11475  faclbnd  11544  bc0k  11565  bcval5  11572  fz1isolem  11673  seqcoll  11675  absexpz  12073  climuni  12309  isercoll  12424  climcnds  12594  arisum  12602  trireciplem  12604  expcnv  12606  geo2sum  12613  geo2lim  12615  0.999...  12621  geoihalfsum  12622  rpnnen2lem6  12782  rpnnen2lem9  12785  rpnnen2lem10  12786  dvdsval3  12819  nndivdvds  12821  dvdsle  12858  dvdseq  12860  fzm1ndvds  12864  dvdsfac  12867  oexpneg  12874  divalg2  12888  divalgmod  12889  ndvdsadd  12891  modgcd  12999  gcddiv  13012  gcdmultiple  13013  gcdmultiplez  13014  gcdeq  13015  rpmulgcd  13018  rplpwr  13019  rppwr  13020  sqgcd  13021  dvdssqlem  13022  dvdssq  13023  eucalginv  13038  1idssfct  13048  isprm3  13051  prmind2  13053  qredeq  13069  qredeu  13070  isprm6  13072  divgcdodd  13082  divnumden  13103  divdenle  13104  nn0gcdsq  13107  phicl2  13120  phiprmpw  13128  eulerthlem2  13134  pythagtriplem3  13155  pythagtriplem4  13156  pythagtriplem6  13158  pythagtriplem7  13159  pythagtriplem8  13160  pythagtriplem9  13161  pythagtriplem11  13162  pythagtriplem13  13164  pythagtriplem15  13166  pythagtriplem19  13170  pythagtrip  13171  iserodd  13172  pclem  13175  pccl  13186  pcdiv  13189  pcqcl  13193  pcdvds  13200  pcndvds  13202  pcndvds2  13204  pcelnn  13206  pcz  13217  pcmpt  13224  fldivp1  13229  pcfac  13231  infpnlem1  13241  prmunb  13245  prmreclem1  13247  1arith  13258  ram0  13353  mulgnn  14859  ghmmulg  14981  dfod2  15163  gexdvds  15181  gexnnod  15185  gexex  15431  mulgass2  15673  qsssubdrg  16721  prmirredlem  16736  znidomb  16805  znrrg  16809  lmmo  17406  1stckgenlem  17546  imasdsf1olem  18364  clmmulg  19079  cmetcaulem  19202  ovolunlem1a  19353  ovolicc2lem4  19377  mbfi1fseqlem6  19573  dvexp3  19823  dgreq0  20144  elqaalem2  20198  aaliou3lem1  20220  aaliou3lem2  20221  aaliou3lem3  20222  aaliou3lem9  20228  pserdvlem2  20305  logtayl2  20514  root1eq1  20600  root1cj  20601  atantayl2  20739  birthdaylem2  20752  birthdaylem3  20753  emcllem5  20799  basellem2  20825  basellem3  20826  basellem5  20828  sgmss  20850  issqf  20880  sgmnncl  20891  prmorcht  20922  mumullem1  20923  mumullem2  20924  sqff1o  20926  dvdsdivcl  20927  dvdsflsumcom  20934  muinv  20939  vmalelog  20950  chtublem  20956  vmasum  20961  logfac2  20962  logfaclbnd  20967  bclbnd  21025  bposlem5  21033  lgsval4a  21063  lgssq  21080  lgssq2  21081  lgsdchr  21093  lgsquadlem1  21099  lgsquadlem2  21100  lgsquad3  21106  rplogsumlem1  21139  rplogsumlem2  21140  dchrisumlem2  21145  dchrmusumlema  21148  dchrmusum2  21149  dchrvmasumiflem1  21156  dchrvmaeq0  21159  dchrisum0flblem2  21164  dchrisum0re  21168  dchrisum0lema  21169  dchrisum0lem1b  21170  dchrisum0lem2a  21172  logdivbnd  21211  pntrsumbnd2  21222  ostth2lem1  21273  ostth2lem3  21290  ostth3  21293  gxpval  21808  gxcom  21818  gxinv  21819  gxid  21822  gxmodid  21828  gxdi  21845  bcm1n  24112  pnfinf  24214  esumcvg  24437  erdszelem7  24844  climuzcnv  25069  elfzm12  25073  zmodid2  25075  fznatpl1  25159  axlowdimlem13  25805  mblfinlem  26151  nn0prpwlem  26223  fzmul  26342  incsequz  26350  geomcau  26363  heibor1lem  26416  bfplem2  26430  fzsplit1nn0  26710  irrapxlem1  26783  pellexlem5  26794  rmynn  26919  jm2.24nn  26922  jm2.17c  26925  congrep  26936  congabseq  26937  acongrep  26943  acongeq  26946  jm2.18  26957  jm2.23  26965  jm2.20nn  26966  jm2.26lem3  26970  jm2.26  26971  jm2.15nn0  26972  jm2.16nn0  26973  jm2.27dlem2  26979  rmydioph  26983  jm3.1  26989  expdiophlem1  26990  expdioph  26992  idomodle  27388  hashgcdlem  27392  hashgcdeq  27393  phisum  27394  proot1ex  27396  stoweidlem7  27631  stoweidlem17  27641  wallispilem4  27692  stirlinglem2  27699  stirlinglem3  27700  stirlinglem4  27701  stirlinglem12  27709  stirlinglem13  27710  stirlinglem14  27711  stirlinglem15  27712  stirlingr  27714  ubmelfzo  27994  ubmelm1fzo  27995  fzo1fzo0n0  27996  swrdccatin12lem3a  28029  swrdccatin12lem3b  28030  swrdccatin12lem3c  28031  swrdccatin12lem3  28032  swrdccatin12  28034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-z 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator