MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzd Unicode version

Theorem nnzd 10116
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnzd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
21nnnn0d 10018 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
32nn0zd 10115 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   NNcn 9746   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  expaddzlem  11145  expmulz  11148  expmulnbnd  11233  facndiv  11301  bcval5  11330  bcpasc  11333  hashf1  11395  isercolllem1  12138  isercolllem2  12139  o1fsum  12271  bcxmas  12294  climcndslem2  12309  climcnds  12310  mertenslem1  12340  eftlub  12389  eirrlem  12482  rpnnen2lem7  12499  rpnnen2lem9  12501  rpnnen2lem11  12503  sqr2irrlem  12526  dvdsfac  12583  dvdsmod  12585  bitsfzolem  12625  bitsmod  12627  bitsfi  12628  bitscmp  12629  bitsinv1  12633  sadadd3  12652  sadaddlem  12657  bitsuz  12665  bitsshft  12666  gcd1  12711  bezoutlem3  12719  bezoutlem4  12720  mulgcd  12725  gcdmultiplez  12730  rplpwr  12735  rppwr  12736  sqgcd  12737  dvdssq  12739  prmz  12762  prmind2  12769  isprm6  12788  prmexpb  12796  prmfac1  12797  divgcdodd  12798  rpexp  12799  rpdvds  12803  numdensq  12825  hashdvds  12843  phiprmpw  12844  crt  12846  phimullem  12847  eulerthlem1  12849  eulerthlem2  12850  prmdivdiv  12855  odzdvds  12860  pythagtriplem4  12872  pythagtriplem6  12874  pythagtriplem7  12875  pythagtriplem11  12878  pythagtriplem13  12880  pythagtriplem19  12886  pclem  12891  pcprendvds2  12894  pcpre1  12895  pcpremul  12896  pceulem  12898  pcqmul  12906  pcdvdsb  12921  pcidlem  12924  pcdvdstr  12928  pcgcd1  12929  pc2dvds  12931  pcprmpw2  12934  pcaddlem  12936  pcadd  12937  pcmpt2  12941  pcmptdvds  12942  pcfac  12947  pcbc  12948  qexpz  12949  prmpwdvds  12951  pockthlem  12952  pockthg  12953  prmreclem2  12964  prmreclem3  12965  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  prmreclem6  12968  4sqlem5  12989  4sqlem8  12992  4sqlem9  12993  4sqlem10  12994  4sqlem12  13003  4sqlem14  13005  4sqlem16  13007  4sqlem17  13008  vdwlem1  13028  vdwlem2  13029  vdwlem3  13030  vdwlem6  13033  vdwlem9  13036  vdwlem10  13037  vdwnnlem3  13044  gsumwsubmcl  14461  gsumccat  14464  gsumwmhm  14467  mulgneg  14585  mulgnndir  14589  odlem2  14854  mndodconglem  14856  odmod  14861  gexlem2  14893  gexcl3  14898  gexcl2  14900  sylow1lem1  14909  sylow1lem3  14911  sylow1lem5  14913  pgpfi  14916  fislw  14936  sylow3lem4  14941  gexexlem  15144  ablfacrplem  15300  ablfacrp  15301  ablfacrp2  15302  ablfac1lem  15303  ablfac1b  15305  ablfac1eu  15308  pgpfac1lem3a  15311  ablfaclem3  15322  caublcls  18734  ovolicc2lem4  18879  iundisj2  18906  volsup  18913  uniioombllem3  18940  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  elqaalem2  19700  aalioulem1  19712  aalioulem4  19715  aalioulem5  19716  aalioulem6  19717  aaliou  19718  aaliou3lem1  19722  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem3  19724  aaliou3lem8  19725  aaliou3lem5  19727  aaliou3lem6  19728  aaliou3lem7  19729  taylthlem2  19753  cxpeq  20097  amgmlem  20284  wilthlem2  20307  wilth  20309  ftalem5  20314  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem4  20321  basellem5  20322  muval1  20371  dvdssqf  20376  sgmnncl  20385  efchtdvds  20397  mumullem2  20418  mumul  20419  sqff1o  20420  fsumdvdsdiaglem  20423  dvdsppwf1o  20426  dvdsflf1o  20427  muinv  20433  dvdsmulf1o  20434  chtublem  20450  fsumvma2  20453  vmasum  20455  chpchtsum  20458  logfacubnd  20460  mersenne  20466  perfect1  20467  perfectlem1  20468  perfectlem2  20469  perfect  20470  dchrelbas4  20482  dchrfi  20494  bcmono  20516  bcp1ctr  20518  bclbnd  20519  bposlem1  20523  bposlem3  20525  bposlem5  20527  bposlem6  20528  bposlem9  20531  lgsmod  20560  lgsdir  20569  lgsdilem2  20570  lgsne0  20572  lgsqrlem2  20581  lgsqr  20585  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  lgsquad2lem1  20597  lgsquad2lem2  20598  lgsquad2  20599  m1lgs  20601  2sqlem3  20605  2sqlem4  20606  2sqlem8  20611  chebbnd1lem1  20618  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem1  20638  dchrisumlem2  20639  dchrisumlem3  20640  dchrisum0fmul  20655  dchrisum0ff  20656  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0flb  20659  dchrisum0  20669  pntrsumbnd2  20716  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem6  20732  pntpbnd2  20736  pntlemg  20747  pntlemj  20752  pntlemf  20754  ostth2lem2  20783  ostth2lem3  20784  ostth3  20787  minvecolem4  21459  ltesubnnd  23033  ballotlemfp1  23050  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlemimin  23064  ballotlemic  23065  ballotlem1c  23066  ballotlemsgt1  23069  ssnnssfz  23277  iundisj2fi  23364  iundisj2f  23366  esumcvg  23454  meascnbl  23546  subfaclim  23719  cvmliftlem7  23822  sinccvglem  24005  bpolydiflem  24789  seqpo  26457  incsequz  26458  incsequz2  26459  irrapxlem3  26909  irrapxlem5  26911  pellexlem5  26918  pellexlem6  26919  pellex  26920  pell1234qrmulcl  26940  jm2.23  27089  jm2.20nn  27090  jm2.26lem3  27094  jm2.27a  27098  jm2.27b  27099  jm2.27c  27100  jm3.1lem1  27110  jm3.1lem3  27112  psgnunilem4  27420  hashgcdlem  27516  stirlinglem5  27827  stirlinglem8  27830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025
  Copyright terms: Public domain W3C validator