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Theorem nocvxminlem 25647
Description: Lemma for nocvxmin 25648. Given two birthday-minimal elements of a convex class of surreals, they are not comparable. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nocvxminlem  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x < s
z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  -.  X < s Y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, X, y, z    y, Y, z
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem nocvxminlem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
x < s z  <-> 
X < s z ) )
21anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( x < s
z  /\  z < s y )  <->  ( X < s z  /\  z
< s y ) ) )
32imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A )  <-> 
( ( X <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) ) )
43ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( A. z  e.  No  ( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A )  <->  A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) ) )
5 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
z < s y  <-> 
z < s Y ) )
65anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X < s
z  /\  z < s y )  <->  ( X < s z  /\  z
< s Y ) ) )
76imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A )  <-> 
( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A ) ) )
87ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A )  <->  A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A ) ) )
94, 8rspc2v 3060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
)  ->  A. z  e.  No  ( ( X < s z  /\  z < s Y )  ->  z  e.  A
) ) )
10 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  ( X < s z  <->  X < s w ) )
11 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  (
z < s Y  <-> 
w < s Y ) )
1210, 11anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
( X < s
z  /\  z < s Y )  <->  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
13 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  A  <->  w  e.  A ) )
1412, 13imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A )  <-> 
( ( X <
s w  /\  w < s Y )  ->  w  e.  A )
) )
1514rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A )  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  w  e.  A
) ) )
16 bdaydm 25635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  bday  =  No
1716sseq2i 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  dom  bday  <->  A  C_  No )
18 bdayfun 25633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Fun  bday
19 funfvima2 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  bday  /\  A  C_  dom  bday )  ->  (
w  e.  A  -> 
( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2018, 19mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  dom  bday  ->  (
w  e.  A  -> 
( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2117, 20sylbir 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  ( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2221imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( bday `  w )  e.  ( bday " A
) )
23 intss1 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
bday `  w )  e.  ( bday " A
)  ->  |^| ( bday " A )  C_  ( bday `  w ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  |^| ( bday " A )  C_  ( bday `  w )
)
25 imassrn 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( bday " A )  C_  ran  bday
26 bdayrn 25634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  bday  =  On
2725, 26sseqtri 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( bday " A )  C_  On
28 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
bday `  w )  e.  ( bday " A
)  ->  ( bday " A )  =/=  (/) )
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( bday " A )  =/=  (/) )
30 oninton 4782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( bday " A
)  C_  On  /\  ( bday " A )  =/=  (/) )  ->  |^| ( bday " A )  e.  On )
3127, 29, 30sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  |^| ( bday " A )  e.  On )
32 bdayelon 25637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( bday `  w )  e.  On
33 ontri1 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
|^| ( bday " A
)  e.  On  /\  ( bday `  w )  e.  On )  ->  ( |^| ( bday " A
)  C_  ( bday `  w )  <->  -.  ( bday `  w )  e. 
|^| ( bday " A
) ) )
3431, 32, 33sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( |^| ( bday " A
)  C_  ( bday `  w )  <->  -.  ( bday `  w )  e. 
|^| ( bday " A
) ) )
3524, 34mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A
) )
3635ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A
) ) )
37 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  <->  ( bday `  w
)  e.  |^| ( bday " A ) ) )
3837notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  <->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A ) ) )
3938biimprcd 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( bday `  w
)  e.  |^| ( bday " A )  -> 
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  ->  -.  ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X ) ) )
4036, 39syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4140com3l 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  A  ->  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4241adantrd 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4315, 42syl8 68 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A )  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  ( ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
4443com35 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  ( ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) )
4544com4l 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  No  (
( X < s
z  /\  z < s Y )  ->  z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  (
w  e.  No  ->  ( ( X < s
w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
469, 45syl6 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( A  C_  No  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( w  e.  No  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) ) )
4746com3l 78 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x < s
z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( w  e.  No  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) ) )
4847impcom 421 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x < s
z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  (
w  e.  No  ->  ( ( X < s
w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
4948imp42 579 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  ( ( X <
s w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X ) ) )
5049con2d 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  ->  -.  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
51 3anass 941 . . . . . . 7  |-  ( ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y )  <->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
5251notbii 289 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y )  <->  -.  (
( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
53 imnan 413 . . . . . 6  |-  ( ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  ->  -.  ( X < s w  /\  w < s Y ) )  <->  -.  (
( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
5452, 53bitr4i 245 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y )  <->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  ->  -.  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
5550, 54sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  -.  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
5655nrexdv 2811 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) )  /\  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) ) ) )  ->  -.  E. w  e.  No  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
57 ssel 3344 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  No  ->  ( X  e.  A  ->  X  e.  No ) )
58 ssel 3344 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  No  ->  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  No ) )
5957, 58anim12d 548 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  No  ->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  e.  No  /\  Y  e.  No ) ) )
6059imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  No  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )
)  ->  ( X  e.  No  /\  Y  e.  No ) )
61 eqtr3 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) )
6260, 61anim12i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A
) )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  (
( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X
)  =  ( bday `  Y ) ) )
6362anasss 630 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  No  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  -> 
( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) ) )
6463adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) )  /\  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) ) ) )  ->  ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) ) )
65 nodense 25646 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( ( bday `  X )  =  (
bday `  Y )  /\  X < s Y ) )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
6665anassrs 631 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) )  /\  X < s Y )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
6764, 66sylan 459 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  X < s Y )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
6856, 67mtand 642 . 2  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) )  /\  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) ) ) )  ->  -.  X < s Y )
6968ex 425 1  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x < s
z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  -.  X < s Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   |^|cint 4052   class class class wbr 4214   Oncon0 4583   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883   Fun wfun 5450   ` cfv 5456   Nocsur 25597   < scslt 25598   bdaycbday 25599
This theorem is referenced by:  nocvxmin  25648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-1o 6726  df-2o 6727  df-no 25600  df-slt 25601  df-bday 25602
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