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Theorem nocvxminlem 24344
Description: Lemma for nocvxmin 24345. Given two birthday-minimal elements of a convex class of surreals, they are not comparable. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nocvxminlem  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x < s
z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  -.  X < s Y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, X, y, z    y, Y, z
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem nocvxminlem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
x < s z  <-> 
X < s z ) )
21anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( x < s
z  /\  z < s y )  <->  ( X < s z  /\  z
< s y ) ) )
32imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A )  <-> 
( ( X <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) ) )
43ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( A. z  e.  No  ( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A )  <->  A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) ) )
5 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
z < s y  <-> 
z < s Y ) )
65anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X < s
z  /\  z < s y )  <->  ( X < s z  /\  z
< s Y ) ) )
76imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A )  <-> 
( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A ) ) )
87ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A )  <->  A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A ) ) )
94, 8rspc2v 2890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
)  ->  A. z  e.  No  ( ( X < s z  /\  z < s Y )  ->  z  e.  A
) ) )
10 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  ( X < s z  <->  X < s w ) )
11 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  (
z < s Y  <-> 
w < s Y ) )
1210, 11anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
( X < s
z  /\  z < s Y )  <->  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
13 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  A  <->  w  e.  A ) )
1412, 13imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A )  <-> 
( ( X <
s w  /\  w < s Y )  ->  w  e.  A )
) )
1514rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A )  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  w  e.  A
) ) )
16 bdaydm 24332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  bday  =  No
1716sseq2i 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  dom  bday  <->  A  C_  No )
18 bdayfun 24330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Fun  bday
19 funfvima2 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  bday  /\  A  C_  dom  bday )  ->  (
w  e.  A  -> 
( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2018, 19mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  dom  bday  ->  (
w  e.  A  -> 
( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2117, 20sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  ( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2221imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( bday `  w )  e.  ( bday " A
) )
23 intss1 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
bday `  w )  e.  ( bday " A
)  ->  |^| ( bday " A )  C_  ( bday `  w ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  |^| ( bday " A )  C_  ( bday `  w )
)
25 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( bday " A )  C_  ran  bday
26 bdayrn 24331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  bday  =  On
2725, 26sseqtri 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( bday " A )  C_  On
28 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
bday `  w )  e.  ( bday " A
)  ->  ( bday " A )  =/=  (/) )
2922, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( bday " A )  =/=  (/) )
30 oninton 4591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( bday " A
)  C_  On  /\  ( bday " A )  =/=  (/) )  ->  |^| ( bday " A )  e.  On )
3127, 29, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  |^| ( bday " A )  e.  On )
32 bdayelon 24334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( bday `  w )  e.  On
33 ontri1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
|^| ( bday " A
)  e.  On  /\  ( bday `  w )  e.  On )  ->  ( |^| ( bday " A
)  C_  ( bday `  w )  <->  -.  ( bday `  w )  e. 
|^| ( bday " A
) ) )
3431, 32, 33sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( |^| ( bday " A
)  C_  ( bday `  w )  <->  -.  ( bday `  w )  e. 
|^| ( bday " A
) ) )
3524, 34mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A
) )
3635ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A
) ) )
37 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  <->  ( bday `  w
)  e.  |^| ( bday " A ) ) )
3837notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  <->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A ) ) )
3938biimprcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( bday `  w
)  e.  |^| ( bday " A )  -> 
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  ->  -.  ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X ) ) )
4036, 39syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4140com3l 75 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  A  ->  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4241adantrd 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4315, 42syl8 65 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A )  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  ( ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
4443com35 84 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <
s z  /\  z
< s Y )  -> 
z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  ( ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) )
4544com4l 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  No  (
( X < s
z  /\  z < s Y )  ->  z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  (
w  e.  No  ->  ( ( X < s
w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
469, 45syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( A  C_  No  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( w  e.  No  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) ) )
4746com3l 75 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x < s
z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( w  e.  No  ->  ( ( X < s w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) ) )
4847impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x < s
z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  (
w  e.  No  ->  ( ( X < s
w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
4948imp42 577 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  ( ( X <
s w  /\  w < s Y )  ->  -.  ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X ) ) )
5049con2d 107 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  ->  -.  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
51 3anass 938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y )  <->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
5251notbii 287 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y )  <->  -.  (
( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
53 imnan 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  ->  -.  ( X < s w  /\  w < s Y ) )  <->  -.  (
( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
5452, 53bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y )  <->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  ->  -.  ( X < s w  /\  w < s Y ) ) )
5550, 54sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  -.  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
5655nrexdv 2646 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) )  /\  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) ) ) )  ->  -.  E. w  e.  No  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
57 ssel 3174 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  No  ->  ( X  e.  A  ->  X  e.  No ) )
58 ssel 3174 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  No  ->  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  No ) )
5957, 58anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  No  ->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  e.  No  /\  Y  e.  No ) ) )
6059imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  No  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )
)  ->  ( X  e.  No  /\  Y  e.  No ) )
61 eqtr3 2302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) )
6260, 61anim12i 549 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A
) )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  (
( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X
)  =  ( bday `  Y ) ) )
6362anasss 628 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  No  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  -> 
( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) ) )
6463adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) )  /\  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) ) ) )  ->  ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) ) )
65 nodense 24343 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( ( bday `  X )  =  (
bday `  Y )  /\  X < s Y ) )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
6665anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) )  /\  X < s Y )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
6764, 66sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x < s z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  X < s Y )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X < s w  /\  w < s Y ) )
6856, 67mtand 640 . 2  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <
s z  /\  z
< s y )  -> 
z  e.  A ) )  /\  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) ) ) )  ->  -.  X < s Y )
6968ex 423 1  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x < s
z  /\  z < s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  -.  X < s Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   |^|cint 3862   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249   ` cfv 5255   Nocsur 24294   < scslt 24295   bdaycbday 24296
This theorem is referenced by:  nocvxmin  24345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-2o 6480  df-no 24297  df-slt 24298  df-bday 24299
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