Theorem noel 2287

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
noel	|- -. A e. (/)

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . . 5 |- x = x
2		dfnul2 2285	. . . . . . 7 |- (/) = {x | -. x = x}
3	2	abeq2i 1573	. . . . . 6 |- (x e. (/) <-> -. x = x)
4	3	con2bii 221	. . . . 5 |- (x = x <-> -. x e. (/))
5	1, 4	mpbi 189	. . . 4 |- -. x e. (/)
6		eleq1 1537	. . . 4 |- (x = A -> (x e. (/) <-> A e. (/)))
7	5, 6	mtbii 718	. . 3 |- (x = A -> -. A e. (/))
8	7	vtocleg 1858	. 2 |- (A e. V -> -. A e. (/))
9		elisset 1820	. . 3 |- (A e. (/) -> A e. V)
10	9	con3i 98	. 2 |- (-. A e. V -> -. A e. (/))
11	8, 10	pm2.61i 126	1 |- -. A e. (/)

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (/)c0 2283

This theorem is referenced by:  n0i 2288  ne0f 2291  rex0 2295  rab0 2297  un0 2301  in0 2302  0ss 2305  disj 2315  rzal 2359  ral0 2362  disjsn 2445  int0 2551  iun0 2608  0iun 2609  po0 2855  so0 2871  ord0eln0 3029  nsuceq0 3059  xp0r 3245  0nelxp 3246  dm0 3329  dm0rn0 3336  reldm0 3337  intirr 3447  cnv0 3452  co02 3514  fn0 3611  omordi 4203  omsmolem 4262  ixp0 4367  rankr1 4684  zorn2lem7 4804  brdom3 4811  alephordi 4885  nlt1pi 5045  om2uzlt 6299  elioo3g 6381  eliooret 6387  elfz2t 6473  ntreq0 7705  helloworld 8781  elioo1t3 10482  empntop 10492  hmeogrp 10524  emnfil 10551  0ded 10661  0cat 10662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-v 1815  df-dif 2052  df-nul 2284

Copyright terms: Public domain