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Theorem nofulllem2 25663
Description: Lemma for nofull (future) . The full statement of the axiom when  L is empty. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
nofulllem2  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z    z, L    x, L    y, R, z
Allowed substitution hints:    R( x)    L( y)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem nofulllem2
StepHypRef Expression
1 nobnddown 25661 . . 3  |-  ( ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  ->  E. z  e.  No  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " R
) ) )
213ad2ant2 980 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " R
) ) )
3 rzal 3731 . . . . . 6  |-  ( L  =  (/)  ->  A. x  e.  L  x < s z )
43biantrurd 496 . . . . 5  |-  ( L  =  (/)  ->  ( A. y  e.  R  z
< s y  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z
< s y ) ) )
5 uneq1 3496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  ( (/)  u.  R
) )
6 uncom 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u.  R )  =  ( R  u.  (/) )
7 un0 3654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  u.  (/) )  =  R
86, 7eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  u.  R )  =  R
95, 8syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  R )
109imaeq2d 5206 . . . . . . . . 9  |-  ( L  =  (/)  ->  ( bday " ( L  u.  R ) )  =  ( bday " R
) )
1110unieqd 4028 . . . . . . . 8  |-  ( L  =  (/)  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  = 
U. ( bday " R
) )
12 suceq 4649 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  U. ( bday " R )  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  =  suc  U. ( bday " R ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( L  =  (/)  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  suc  U. ( bday " R ) )
1413sseq2d 3378 . . . . . 6  |-  ( L  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " R ) ) )
1514bicomd 194 . . . . 5  |-  ( L  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
164, 15anbi12d 693 . . . 4  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
) )  <->  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y )  /\  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
17 df-3an 939 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y )  /\  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
1816, 17syl6bbr 256 . . 3  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z
< s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1918rexbidv 2728 . 2  |-  ( L  =  (/)  ->  ( E. z  e.  No  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
) )  <->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
202, 19syl5ib 212 1  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   suc csuc 4586   "cima 4884   ` cfv 5457   Nocsur 25600   < scslt 25601   bdaycbday 25602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-1o 6727  df-2o 6728  df-no 25603  df-slt 25604  df-bday 25605
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