Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noinfepOLD Structured version   Unicode version

Theorem noinfepOLD 7607
 Description: Using the Axiom of Regularity in the form zfregfr 7562, show that there are no infinite descending -chains. Proposition 7.34 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
noinfepOLD
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem noinfepOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fndm 5536 . . . . 5
2 omex 7590 . . . . 5
31, 2syl6eqel 2523 . . . 4
4 fnfun 5534 . . . 4
5 funrnex 5959 . . . 4
63, 4, 5sylc 58 . . 3
7 peano1 4856 . . . . . . 7
8 eleq2 2496 . . . . . . 7
97, 8mpbiri 225 . . . . . 6
10 ne0i 3626 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
12 dm0rn0 5078 . . . . . 6
1312necon3bii 2630 . . . . 5
1411, 13sylib 189 . . . 4
151, 14syl 16 . . 3
16 zfregfr 7562 . . . 4
17 ssid 3359 . . . . 5
18 fri 4536 . . . . 5
1917, 18mpanr1 665 . . . 4
2016, 19mpanl2 663 . . 3
216, 15, 20syl2anc 643 . 2
22 fvelrnb 5766 . . . . . . 7
2322adantr 452 . . . . . 6
24 peano2 4857 . . . . . . . . 9
25 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . . . 12
2625adantlr 696 . . . . . . . . . . 11
27 simplr 732 . . . . . . . . . . 11
2826, 27jca 519 . . . . . . . . . 10
29 epel 4489 . . . . . . . . . . . . . 14
30 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . 14
3129, 30syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . 13
3231notbid 286 . . . . . . . . . . . 12
3332rspcva 3042 . . . . . . . . . . 11
34 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . 12
3534notbid 286 . . . . . . . . . . 11
3633, 35syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10
3728, 36syl5 30 . . . . . . . . 9
3824, 37sylan2i 637 . . . . . . . 8
3938com12 29 . . . . . . 7
4039reximdva 2810 . . . . . 6
4123, 40sylbid 207 . . . . 5
4241ex 424 . . . 4
4342com23 74 . . 3
4443rexlimdv 2821 . 2
4521, 44mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204   cep 4484   wfr 4530   csuc 4575  com 4837   cdm 4870   crn 4871   wfun 5440   wfn 5441  cfv 5446 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454
 Copyright terms: Public domain W3C validator