Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Unicode version

Theorem nonbooli 22230
 Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where but . The antecedent specifies that the vectors and are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to , , and . (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1
nonbool.2
nonbool.3
nonbool.4
nonbool.5
Assertion
Ref Expression
nonbooli

Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13
31, 2hvaddcli 21598 . . . . . . . . . . . 12
4 spansnid 22142 . . . . . . . . . . . 12
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11
75, 6eleqtrri 2356 . . . . . . . . . 10
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13
91spansnchi 22141 . . . . . . . . . . . . . 14
109chshii 21807 . . . . . . . . . . . . 13
118, 10eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13
132spansnchi 22141 . . . . . . . . . . . . . 14
1413chshii 21807 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 14eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12
1611, 15shsleji 21949 . . . . . . . . . . 11
17 spansnid 22142 . . . . . . . . . . . . . 14
181, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
1918, 8eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . . 12
20 spansnid 22142 . . . . . . . . . . . . . 14
212, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
2221, 12eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . . 12
2311, 15shsvai 21943 . . . . . . . . . . . 12
2419, 22, 23mp2an 653 . . . . . . . . . . 11
2516, 24sselii 3177 . . . . . . . . . 10
26 elin 3358 . . . . . . . . . 10
277, 25, 26mpbir2an 886 . . . . . . . . 9
28 eleq2 2344 . . . . . . . . 9
2927, 28mpbii 202 . . . . . . . 8
30 elch0 21833 . . . . . . . 8
3129, 30sylib 188 . . . . . . 7
32 ch0 21808 . . . . . . . 8
339, 32ax-mp 8 . . . . . . 7
3431, 33syl6eqel 2371 . . . . . 6
358eleq2i 2347 . . . . . . 7
36 sumspansn 22228 . . . . . . . 8
371, 2, 36mp2an 653 . . . . . . 7
3835, 37bitr4i 243 . . . . . 6
3934, 38sylibr 203 . . . . 5
4039con3i 127 . . . 4
426, 8ineq12i 3368 . . . . . 6
433, 1spansnm0i 22229 . . . . . . 7
4438, 43sylnbi 297 . . . . . 6
4542, 44syl5eq 2327 . . . . 5
466, 12ineq12i 3368 . . . . . 6
47 sumspansn 22228 . . . . . . . . 9
482, 1, 47mp2an 653 . . . . . . . 8
491, 2hvcomi 21599 . . . . . . . . 9
5049eleq1i 2346 . . . . . . . 8
5112eleq2i 2347 . . . . . . . 8
5248, 50, 513bitr4ri 269 . . . . . . 7
533, 2spansnm0i 22229 . . . . . . 7
5452, 53sylnbi 297 . . . . . 6
5546, 54syl5eq 2327 . . . . 5
5645, 55oveqan12rd 5878 . . . 4
57 h0elch 21834 . . . . 5
5857chj0i 22034 . . . 4
5956, 58syl6eq 2331 . . 3
60 eqeq2 2292 . . . . 5
6160notbid 285 . . . 4
6261biimparc 473 . . 3
6341, 59, 62syl2anc 642 . 2
64 ioran 476 . 2
65 df-ne 2448 . 2
6663, 64, 653imtr4i 257 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446   cin 3151  csn 3640  cfv 5255  (class class class)co 5858  chil 21499   cva 21500  c0v 21504  csh 21508  cch 21509   cph 21511  cspn 21512   chj 21513  c0h 21515 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-span 21888  df-chj 21889
 Copyright terms: Public domain W3C validator