Theorem norm1ex 9122

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a non-zero vector.

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
norm1ex	|- (E.x e. H x =/= 0h <-> E.y e. H (normh` y) = 1)

Distinct variable groups:   x,H   y,H

Proof of Theorem norm1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 1590	. . 3 |- (x = z -> (x =/= 0h <-> z =/= 0h))
2	1	cbvrexv 1801	. 2 |- (E.x e. H x =/= 0h <-> E.z e. H z =/= 0h)
3		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (y = ((1 / (normh` z)) .h z) -> (normh` y) = (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)))
4	3	eqeq1d 1483	. . . . . 6 |- (y = ((1 / (normh` z)) .h z) -> ((normh` y) = 1 <-> (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)) = 1))
5	4	rcla4ev 1877	. . . . 5 |- ((((1 / (normh` z)) .h z) e. H /\ (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)) = 1) -> E.y e. H (normh` y) = 1)
6		norm1ex.1	. . . . . . 7 |- H e. SH
7		shmulcltOLD 9088	. . . . . . 7 |- (H e. SH -> (((1 / (normh` z)) e. CC /\ z e. H) -> ((1 / (normh` z)) .h z) e. H))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (((1 / (normh` z)) e. CC /\ z e. H) -> ((1 / (normh` z)) .h z) e. H)
9		rerecclt 5803	. . . . . . . 8 |- (((normh` z) e. RR /\ (normh` z) =/= 0) -> (1 / (normh` z)) e. RR)
10	6	shel 9082	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H -> z e. H~)
11		normclt 8991	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H~ -> (normh` z) e. RR)
12	10, 11	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (z e. H -> (normh` z) e. RR)
13	12	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (normh` z) e. RR)
14		normne0t 8997	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H~ -> ((normh` z) =/= 0 <-> z =/= 0h))
15	10, 14	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (z e. H -> ((normh` z) =/= 0 <-> z =/= 0h))
16	15	biimpar 417	. . . . . . . 8 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (normh` z) =/= 0)
17	9, 13, 16	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (1 / (normh` z)) e. RR)
18	17	recnd 5315	. . . . . 6 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (1 / (normh` z)) e. CC)
19		pm3.26 319	. . . . . 6 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> z e. H)
20	8, 18, 19	sylanc 471	. . . . 5 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> ((1 / (normh` z)) .h z) e. H)
21		norm1t 9121	. . . . . 6 |- ((z e. H~ /\ z =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)) = 1)
22	21, 10	sylan 448	. . . . 5 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> (normh` ((1 / (normh` z)) .h z)) = 1)
23	5, 20, 22	sylanc 471	. . . 4 |- ((z e. H /\ z =/= 0h) -> E.y e. H (normh` y) = 1)
24	23	r19.23aiva 1744	. . 3 |- (E.z e. H z =/= 0h -> E.y e. H (normh` y) = 1)
25	6	shel 9082	. . . . . . . 8 |- (y e. H -> y e. H~)
26		norm-it 8996	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> ((normh` y) = 0 <-> y = 0h))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. H -> ((normh` y) = 0 <-> y = 0h))
28	27	necon3bbid 1600	. . . . . 6 |- (y e. H -> (-. (normh` y) = 0 <-> y =/= 0h))
29		ax1ne0 5280	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
30		df-ne 1587	. . . . . . . 8 |- (1 =/= 0 <-> -. 1 = 0)
31	29, 30	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -. 1 = 0
32		eqeq1 1481	. . . . . . 7 |- ((normh` y) = 1 -> ((normh` y) = 0 <-> 1 = 0))
33	31, 32	mtbiri 717	. . . . . 6 |- ((normh` y) = 1 -> -. (normh` y) = 0)
34	28, 33	syl5bi 208	. . . . 5 |- (y e. H -> ((normh` y) = 1 -> y =/= 0h))
35	34	r19.22i 1732	. . . 4 |- (E.y e. H (normh` y) = 1 -> E.y e. H y =/= 0h)
36		neeq1 1590	. . . . 5 |- (y = z -> (y =/= 0h <-> z =/= 0h))
37	36	cbvrexv 1801	. . . 4 |- (E.y e. H y =/= 0h <-> E.z e. H z =/= 0h)
38	35, 37	sylib 198	. . 3 |- (E.y e. H (normh` y) = 1 -> E.z e. H z =/= 0h)
39	24, 38	impbi 157	. 2 |- (E.z e. H z =/= 0h <-> E.y e. H (normh` y) = 1)
40	2, 39	bitr 173	1 |- (E.x e. H x =/= 0h <-> E.y e. H (normh` y) = 1)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  E.wrex 1646  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   / cdiv 5294  H~chil 8788   .h csm 8790  0hc0v 8791  normhcno 8794  SHcsh 8797

This theorem is referenced by:  norm1hext 9123  pjnmop 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-hnorm 8837  df-sh 9076

Copyright terms: Public domain