Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1exi Structured version   Unicode version

Theorem norm1exi 22744
 Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
norm1ex.1
Assertion
Ref Expression
norm1exi
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem norm1exi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 2606 . . 3
21cbvrexv 2925 . 2
3 norm1ex.1 . . . . . . . . . . 11
43sheli 22708 . . . . . . . . . 10
5 normcl 22619 . . . . . . . . . 10
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9
76adantr 452 . . . . . . . 8
8 normne0 22624 . . . . . . . . . 10
94, 8syl 16 . . . . . . . . 9
109biimpar 472 . . . . . . . 8
117, 10rereccld 9833 . . . . . . 7
1211recnd 9106 . . . . . 6
13 simpl 444 . . . . . 6
14 shmulcl 22712 . . . . . . 7
153, 14mp3an1 1266 . . . . . 6
1612, 13, 15syl2anc 643 . . . . 5
17 norm1 22743 . . . . . 6
184, 17sylan 458 . . . . 5
19 fveq2 5720 . . . . . . 7
2019eqeq1d 2443 . . . . . 6
2120rspcev 3044 . . . . 5
2216, 18, 21syl2anc 643 . . . 4
2322rexlimiva 2817 . . 3
24 ax-1ne0 9051 . . . . . . . 8
25 df-ne 2600 . . . . . . . 8
2624, 25mpbi 200 . . . . . . 7
27 eqeq1 2441 . . . . . . 7
2826, 27mtbiri 295 . . . . . 6
293sheli 22708 . . . . . . . 8
30 norm-i 22623 . . . . . . . 8
3129, 30syl 16 . . . . . . 7
3231necon3bbid 2632 . . . . . 6
3328, 32syl5ib 211 . . . . 5
3433reximia 2803 . . . 4
35 neeq1 2606 . . . . 5
3635cbvrexv 2925 . . . 4
3734, 36sylib 189 . . 3
3823, 37impbii 181 . 2
392, 38bitri 241 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cdiv 9669  chil 22414   csm 22416  cno 22418  c0v 22419  csh 22423 This theorem is referenced by:  norm1hex  22745  pjnmopi  23643 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hv0cl 22498  ax-hfvmul 22500  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his3 22578  ax-his4 22579 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-hnorm 22463  df-sh 22701
 Copyright terms: Public domain W3C validator