Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem0 Unicode version

Theorem normlem0 22459
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1
normlem1.2
normlem1.3
Assertion
Ref Expression
normlem0

Proof of Theorem normlem0
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . . 5
2 normlem1.1 . . . . . 6
3 normlem1.3 . . . . . 6
42, 3hvmulcli 22365 . . . . 5
51, 4hvsubvali 22371 . . . 4
62mulm1i 9410 . . . . . . 7
76oveq1i 6030 . . . . . 6
8 neg1cn 9999 . . . . . . 7
98, 2, 3hvmulassi 22396 . . . . . 6
107, 9eqtr3i 2409 . . . . 5
1110oveq2i 6031 . . . 4
125, 11eqtr4i 2410 . . 3
1312, 12oveq12i 6032 . 2
142negcli 9300 . . . 4
1514, 3hvmulcli 22365 . . 3
161, 15hvaddcli 22369 . . 3
17 ax-his2 22433 . . 3
181, 15, 16, 17mp3an 1279 . 2
19 his7 22440 . . . . 5
201, 1, 15, 19mp3an 1279 . . . 4
21 his5 22436 . . . . . . 7
2214, 1, 3, 21mp3an 1279 . . . . . 6
232cjnegi 11914 . . . . . . 7
2423oveq1i 6030 . . . . . 6
2522, 24eqtri 2407 . . . . 5
2625oveq2i 6031 . . . 4
2720, 26eqtri 2407 . . 3
28 ax-his3 22434 . . . . 5
2914, 3, 16, 28mp3an 1279 . . . 4
30 his7 22440 . . . . . . 7
313, 1, 15, 30mp3an 1279 . . . . . 6
32 his5 22436 . . . . . . . 8
3314, 3, 3, 32mp3an 1279 . . . . . . 7
3433oveq2i 6031 . . . . . 6
3531, 34eqtri 2407 . . . . 5
3635oveq2i 6031 . . . 4
373, 1hicli 22431 . . . . . 6
3814cjcli 11901 . . . . . . 7
393, 3hicli 22431 . . . . . . 7
4038, 39mulcli 9028 . . . . . 6
4114, 37, 40adddii 9033 . . . . 5
4214, 38, 39mulassi 9032 . . . . . . 7
4323oveq2i 6031 . . . . . . . . 9
442cjcli 11901 . . . . . . . . . 10
452, 44mul2negi 9413 . . . . . . . . 9
4643, 45eqtri 2407 . . . . . . . 8
4746oveq1i 6030 . . . . . . 7
4842, 47eqtr3i 2409 . . . . . 6
4948oveq2i 6031 . . . . 5
5041, 49eqtri 2407 . . . 4
5129, 36, 503eqtri 2411 . . 3
5227, 51oveq12i 6032 . 2
5313, 18, 523eqtri 2411 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1649   wcel 1717  cfv 5394  (class class class)co 6020  cc 8921  c1 8924   caddc 8926   cmul 8928  cneg 9224  ccj 11828  chil 22270   cva 22271   csm 22272   csp 22273   cmv 22276 This theorem is referenced by:  normlem1  22460 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-hfvadd 22351  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulass 22358  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-2 9990  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-hvsub 22322
 Copyright terms: Public domain W3C validator