Theorem normlem2 8972

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	|- S e. CC
normlem1.2	|- F e. H~
normlem1.3	|- G e. H~
normlem2.4	|- B = -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))

Assertion

Ref	Expression
normlem2	|- B e. RR

Proof of Theorem normlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem2.4	. 2 |- B = -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))
2		normlem1.1	. . . . . . . . . 10 |- S e. CC
3	2	cjcj 6778	. . . . . . . . 9 |- (*` (*` S)) = S
4	3	eqcomi 1482	. . . . . . . 8 |- S = (*` (*` S))
5		normlem1.3	. . . . . . . . 9 |- G e. H~
6		normlem1.2	. . . . . . . . 9 |- F e. H~
7	5, 6	his1 8961	. . . . . . . 8 |- (G .ih F) = (*` (F .ih G))
8	4, 7	opreq12i 3979	. . . . . . 7 |- (S x. (G .ih F)) = ((*` (*` S)) x. (*` (F .ih G)))
9	2	cjcl 6768	. . . . . . . 8 |- (*` S) e. CC
10	6, 5	hicl 8943	. . . . . . . 8 |- (F .ih G) e. CC
11	9, 10	cjmul 6789	. . . . . . 7 |- (*` ((*` S) x. (F .ih G))) = ((*` (*` S)) x. (*` (F .ih G)))
12	8, 11	eqtr4 1501	. . . . . 6 |- (S x. (G .ih F)) = (*` ((*` S) x. (F .ih G)))
13	6, 5	his1 8961	. . . . . . . 8 |- (F .ih G) = (*` (G .ih F))
14	13	opreq2i 3978	. . . . . . 7 |- ((*` S) x. (F .ih G)) = ((*` S) x. (*` (G .ih F)))
15	5, 6	hicl 8943	. . . . . . . 8 |- (G .ih F) e. CC
16	2, 15	cjmul 6789	. . . . . . 7 |- (*` (S x. (G .ih F))) = ((*` S) x. (*` (G .ih F)))
17	14, 16	eqtr4 1501	. . . . . 6 |- ((*` S) x. (F .ih G)) = (*` (S x. (G .ih F)))
18	12, 17	opreq12i 3979	. . . . 5 |- ((S x. (G .ih F)) + ((*` S) x. (F .ih G))) = ((*` ((*` S) x. (F .ih G))) + (*` (S x. (G .ih F))))
19	9, 10	mulcl 5333	. . . . . 6 |- ((*` S) x. (F .ih G)) e. CC
20	2, 15	mulcl 5333	. . . . . 6 |- (S x. (G .ih F)) e. CC
21	19, 20	addcom 5334	. . . . 5 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) = ((S x. (G .ih F)) + ((*` S) x. (F .ih G)))
22	19, 20	cjadd 6788	. . . . 5 |- (*` (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) = ((*` ((*` S) x. (F .ih G))) + (*` (S x. (G .ih F))))
23	18, 21, 22	3eqtr4r 1509	. . . 4 |- (*` (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) = (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))
24	19, 20	addcl 5332	. . . . 5 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. CC
25	24	cjreb 6781	. . . 4 |- ((((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR <-> (*` (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) = (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))))
26	23, 25	mpbir 190	. . 3 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR
27	26	renegcl 5428	. 2 |- -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR
28	1, 27	eqeltr 1547	1 |- B e. RR

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245   + caddc 5249   x. cmul 5251  -ucneg 5305  *ccj 6750  H~chil 8783   .ih csp 8788

This theorem is referenced by:  normlem3 8973  normlem6 8976  normlem7 8977  norm-ii 8999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hfi 8941  ax-his1 8944

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754

Copyright terms: Public domain