Theorem normlem7 8982

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	|- S e. CC
normlem1.2	|- F e. H~
normlem1.3	|- G e. H~
normlem7.4	|- (abs` S) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem7	|- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) <_ (2 x. ((sqr` (G .ih G)) x. (sqr` (F .ih F))))

Proof of Theorem normlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . . . 6 |- S e. CC
2		normlem1.2	. . . . . 6 |- F e. H~
3		normlem1.3	. . . . . 6 |- G e. H~
4		eqid 1475	. . . . . 6 |- -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) = -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))
5	1, 2, 3, 4	normlem2 8977	. . . . 5 |- -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR
6	1	cjcl 6767	. . . . . . . 8 |- (*` S) e. CC
7	2, 3	hicl 8948	. . . . . . . 8 |- (F .ih G) e. CC
8	6, 7	mulcl 5321	. . . . . . 7 |- ((*` S) x. (F .ih G)) e. CC
9	3, 2	hicl 8948	. . . . . . . 8 |- (G .ih F) e. CC
10	1, 9	mulcl 5321	. . . . . . 7 |- (S x. (G .ih F)) e. CC
11	8, 10	addcl 5320	. . . . . 6 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. CC
12	11	negreb 6795	. . . . 5 |- (-u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR <-> (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR)
13	5, 12	mpbi 189	. . . 4 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. RR
14	13	leabs 6872	. . 3 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) <_ (abs` (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))))
15	11	absneg 6844	. . 3 |- (abs` -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) = (abs` (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))))
16	14, 15	breqtrr 2640	. 2 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) <_ (abs` -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))))
17		eqid 1475	. . 3 |- (G .ih G) = (G .ih G)
18		eqid 1475	. . 3 |- (F .ih F) = (F .ih F)
19		normlem7.4	. . 3 |- (abs` S) = 1
20	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19	normlem6 8981	. 2 |- (abs` -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) <_ (2 x. ((sqr` (G .ih G)) x. (sqr` (F .ih F))))
21	11	negcl 5369	. . . 4 |- -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) e. CC
22	21	abscl 6839	. . 3 |- (abs` -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) e. RR
23		2re 5979	. . . 4 |- 2 e. RR
24		hiidge0t 8964	. . . . . . 7 |- (G e. H~ -> 0 <_ (G .ih G))
25	3, 24	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0 <_ (G .ih G)
26		hiidrclt 8961	. . . . . . . 8 |- (G e. H~ -> (G .ih G) e. RR)
27	3, 26	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (G .ih G) e. RR
28	27	sqrcl 6700	. . . . . 6 |- (0 <_ (G .ih G) -> (sqr` (G .ih G)) e. RR)
29	25, 28	ax-mp 7	. . . . 5 |- (sqr` (G .ih G)) e. RR
30		hiidge0t 8964	. . . . . . 7 |- (F e. H~ -> 0 <_ (F .ih F))
31	2, 30	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0 <_ (F .ih F)
32		hiidrclt 8961	. . . . . . . 8 |- (F e. H~ -> (F .ih F) e. RR)
33	2, 32	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (F .ih F) e. RR
34	33	sqrcl 6700	. . . . . 6 |- (0 <_ (F .ih F) -> (sqr` (F .ih F)) e. RR)
35	31, 34	ax-mp 7	. . . . 5 |- (sqr` (F .ih F)) e. RR
36	29, 35	remulcl 5335	. . . 4 |- ((sqr` (G .ih G)) x. (sqr` (F .ih F))) e. RR
37	23, 36	remulcl 5335	. . 3 |- (2 x. ((sqr` (G .ih G)) x. (sqr` (F .ih F)))) e. RR
38	13, 22, 37	letr 5588	. 2 |- (((((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) <_ (abs` -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) /\ (abs` -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))) <_ (2 x. ((sqr` (G .ih G)) x. (sqr` (F .ih F))))) -> (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) <_ (2 x. ((sqr` (G .ih G)) x. (sqr` (F .ih F)))))
39	16, 20, 38	mp2an 697	1 |- (((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F))) <_ (2 x. ((sqr` (G .ih G)) x. (sqr` (F .ih F))))

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239  -ucneg 5293   <_ cle 5295  2c2 5961  sqrcsqr 6669  *ccj 6749  abscabs 6750  H~chil 8788   .ih csp 8793

This theorem is referenced by:  normlem7tALT 8985  norm-ii 9004

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulass 8877  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain