Theorem normpart 9017

Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98.

Assertion

Ref	Expression
normpart	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))))

Proof of Theorem normpart

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h B))
2	1	fveq2d 3734	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` (A -h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B)))
3	2	opreq1d 3981	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` (A -h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2))
4		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A +h B) = (if(A e. H~, A, 0h) +h B))
5	4	fveq2d 3734	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` (A +h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B)))
6	5	opreq1d 3981	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` (A +h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2))
7	3, 6	opreq12d 3984	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2)))
8		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (normh` A) = (normh` if(A e. H~, A, 0h)))
9	8	opreq1d 3981	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((normh` A)^2) = ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2))
10	9	opreq2d 3982	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (2 x. ((normh` A)^2)) = (2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)))
11	10	opreq1d 3981	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))))
12	7, 11	eqeq12d 1492	. 2 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) <-> (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` B)^2)))))
13		opreq2 3975	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))
14	13	fveq2d 3734	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))))
15	14	opreq1d 3981	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))^2))
16		opreq2 3975	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) +h B) = (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))
17	16	fveq2d 3734	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B)) = (normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h))))
18	17	opreq1d 3981	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2) = ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2))
19	15, 18	opreq12d 3984	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2)) = (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2)))
20		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (normh` B) = (normh` if(B e. H~, B, 0h)))
21	20	opreq1d 3981	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((normh` B)^2) = ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2))
22	21	opreq2d 3982	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (2 x. ((normh` B)^2)) = (2 x. ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2)))
23	22	opreq2d 3982	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2))))
24	19, 23	eqeq12d 1492	. 2 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h B))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) <-> (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2)) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2)))))
25		ax-hv0cl 8868	. . . 4 |- 0h e. H~
26	25	elimel 2398	. . 3 |- if(A e. H~, A, 0h) e. H~
27	25	elimel 2398	. . 3 |- if(B e. H~, B, 0h) e. H~
28	26, 27	normpar 9016	. 2 |- (((normh` (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))^2) + ((normh` (if(A e. H~, A, 0h) +h if(B e. H~, B, 0h)))^2)) = ((2 x. ((normh` if(A e. H~, A, 0h))^2)) + (2 x. ((normh` if(B e. H~, B, 0h))^2)))
29	12, 24, 28	dedth2h 2391	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  ifcif 2365  ` cfv 3188  (class class class)co 3969   + caddc 5249   x. cmul 5251  2c2 5963  ^cexp 6569  H~chil 8783   +h cva 8784  0hc0v 8786   -h cmv 8787  normhcno 8789

This theorem is referenced by:  hhph 9040

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel