HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normsub0 Structured version   Unicode version

Theorem normsub0 22643
Description: Two vectors are equal iff the norm of their difference is zero. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normsub0  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( A  -h  B ) )  =  0  <->  A  =  B ) )

Proof of Theorem normsub0
StepHypRef Expression
1 oveq1 6091 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )
21fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( normh `  ( A  -h  B ) )  =  ( normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
32eqeq1d 2446 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( normh `  ( A  -h  B ) )  =  0  <->  ( normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  0 ) )
4 eqeq1 2444 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  =  B  <->  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  =  B ) )
53, 4bibi12d 314 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( normh `  ( A  -h  B ) )  =  0  <->  A  =  B )  <->  ( ( normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  0  <->  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  B
) ) )
6 oveq2 6092 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
76fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
87eqeq1d 2446 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  0  <->  ( normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  =  0 ) )
9 eqeq2 2447 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  =  B  <->  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
108, 9bibi12d 314 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  0  <->  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  B
)  <->  ( ( normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  0  <-> 
if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
11 ax-hv0cl 22511 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
1211elimel 3793 . . 3  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
1311elimel 3793 . . 3  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
1412, 13normsub0i 22642 . 2  |-  ( (
normh `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  =  0  <->  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)
155, 10, 14dedth2h 3783 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( A  -h  B ) )  =  0  <->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ifcif 3741   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   ~Hchil 22427   normhcno 22431   0hc0v 22432    -h cmv 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his1 22589  ax-his3 22591  ax-his4 22592
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-hnorm 22476  df-hvsub 22479
  Copyright terms: Public domain W3C validator