HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normsubi Structured version   Unicode version

Theorem normsubi 22635
Description: Negative doesn't change the norm of a Hilbert space vector. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normsub.1  |-  A  e. 
~H
normsub.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
normsubi  |-  ( normh `  ( A  -h  B
) )  =  (
normh `  ( B  -h  A ) )

Proof of Theorem normsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10059 . . 3  |-  -u 1  e.  CC
2 normsub.2 . . . 4  |-  B  e. 
~H
3 normsub.1 . . . 4  |-  A  e. 
~H
42, 3hvsubcli 22516 . . 3  |-  ( B  -h  A )  e. 
~H
51, 4norm-iii-i 22633 . 2  |-  ( normh `  ( -u 1  .h  ( B  -h  A
) ) )  =  ( ( abs `  -u 1
)  x.  ( normh `  ( B  -h  A
) ) )
62, 3hvnegdii 22556 . . 3  |-  ( -u
1  .h  ( B  -h  A ) )  =  ( A  -h  B )
76fveq2i 5723 . 2  |-  ( normh `  ( -u 1  .h  ( B  -h  A
) ) )  =  ( normh `  ( A  -h  B ) )
8 ax-1cn 9040 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
98absnegi 12195 . . . . 5  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
10 abs1 12094 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
119, 10eqtri 2455 . . . 4  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
1211oveq1i 6083 . . 3  |-  ( ( abs `  -u 1
)  x.  ( normh `  ( B  -h  A
) ) )  =  ( 1  x.  ( normh `  ( B  -h  A ) ) )
134normcli 22625 . . . . 5  |-  ( normh `  ( B  -h  A
) )  e.  RR
1413recni 9094 . . . 4  |-  ( normh `  ( B  -h  A
) )  e.  CC
1514mulid2i 9085 . . 3  |-  ( 1  x.  ( normh `  ( B  -h  A ) ) )  =  ( normh `  ( B  -h  A
) )
1612, 15eqtri 2455 . 2  |-  ( ( abs `  -u 1
)  x.  ( normh `  ( B  -h  A
) ) )  =  ( normh `  ( B  -h  A ) )
175, 7, 163eqtr3i 2463 1  |-  ( normh `  ( A  -h  B
) )  =  (
normh `  ( B  -h  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1c1 8983    x. cmul 8987   -ucneg 9284   abscabs 12031   ~Hchil 22414    .h csm 22416   normhcno 22418    -h cmv 22420
This theorem is referenced by:  normsub  22637  norm3adifii  22642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hv0cl 22498  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his3 22578  ax-his4 22579
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-hnorm 22463  df-hvsub 22466
  Copyright terms: Public domain W3C validator