MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan Unicode version

Theorem npcan 9060
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 9051 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
31, 2addcomd 9014 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
4 pncan3 9059 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
54ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
63, 5eqtrd 2315 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  addsubass  9061  npncan  9069  nppcan  9070  subcan2  9072  nnncan  9082  npcand  9161  nn1suc  9767  elnnnn0  10007  zlem1lt  10069  zltlem1  10070  peano5uzi  10100  uzindOLD  10106  nummac  10156  uzp1  10261  peano2uzr  10274  qbtwnre  10526  fz01en  10818  fzsuc2  10842  fseq1m1p1  10858  fzm1  10862  fzoss2  10897  fzoaddel2  10907  fldiv  10964  seqm1  11063  monoord2  11077  sermono  11078  seqf1olem1  11085  seqf1olem2  11086  seqz  11094  expm1t  11130  expubnd  11162  facnn2  11297  bcm1k  11327  bcn2  11331  hashfzo  11383  hashbclem  11390  hashf1  11395  seqcoll  11401  wrdeqcats1  11474  shftlem  11563  shftfval  11565  seqshft  11580  iserex  12130  serf0  12153  iseralt  12157  sumrblem  12184  fsumm1  12216  fsumshft  12242  binomlem  12287  binom1dif  12291  isumsplit  12299  climcndslem1  12308  ruclem12  12519  dvdssub2  12566  4sqlem19  13010  vdwapun  13021  vdwapid1  13022  vdwlem5  13032  vdwlem8  13035  vdwnnlem2  13043  ramub1lem2  13074  1259lem4  13132  1259prm  13134  2503prm  13138  4001prm  13143  gsumccat  14464  sylow1lem1  14909  efgsres  15047  efgredleme  15052  icccvx  18448  reparphti  18495  ovolunlem1  18856  advlog  20001  cxpaddlelem  20091  ang180lem1  20107  ang180lem3  20109  asinlem2  20165  tanatan  20215  ppiub  20443  perfect1  20467  lgsquad2lem1  20597  rplogsumlem1  20633  selberg2lem  20699  logdivbnd  20705  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd2  20716  gxsuc  20939  addinv  21019  fzspl  23030  cvmliftlem7  23233  eupares  23310  predfz  23614  ax5seglem3  23970  ax5seglem5  23972  axbtwnid  23978  axlowdimlem13  23993  axlowdimlem16  23996  axeuclidlem  24001  axcontlem2  24004  bpolycl  24198  bpolysum  24199  bpolydiflem  24200  bpoly2  24203  bpoly3  24204  fsumcube  24206  nndivsub  24307  trran  25026  mettrifi  25885  irrapxlem1  26319  rmspecsqrnq  26403  jm2.24nn  26458  jm2.18  26493  jm2.23  26501  jm2.27c  26512  fmul01lt1lem2  27127  itgsinexp  27161  stoweidlem11  27172  stoweidlem14  27175  stoweidlem26  27187  stoweidlem34  27195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator