MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan Unicode version

Theorem npcan 9076
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 9067 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
31, 2addcomd 9030 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
4 pncan3 9075 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
54ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
63, 5eqtrd 2328 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756    - cmin 9053
This theorem is referenced by:  addsubass  9077  npncan  9085  nppcan  9086  subcan2  9088  nnncan  9098  npcand  9177  nn1suc  9783  elnnnn0  10023  zlem1lt  10085  zltlem1  10086  peano5uzi  10116  uzindOLD  10122  nummac  10172  uzp1  10277  peano2uzr  10290  qbtwnre  10542  fz01en  10834  fzsuc2  10858  fseq1m1p1  10874  fzm1  10878  fzoss2  10913  fzoaddel2  10923  fldiv  10980  seqm1  11079  monoord2  11093  sermono  11094  seqf1olem1  11101  seqf1olem2  11102  seqz  11110  expm1t  11146  expubnd  11178  facnn2  11313  bcm1k  11343  bcn2  11347  hashfzo  11399  hashbclem  11406  hashf1  11411  seqcoll  11417  wrdeqcats1  11490  shftlem  11579  shftfval  11581  seqshft  11596  iserex  12146  serf0  12169  iseralt  12173  sumrblem  12200  fsumm1  12232  fsumshft  12258  binomlem  12303  binom1dif  12307  isumsplit  12315  climcndslem1  12324  ruclem12  12535  dvdssub2  12582  4sqlem19  13026  vdwapun  13037  vdwapid1  13038  vdwlem5  13048  vdwlem8  13051  vdwnnlem2  13059  ramub1lem2  13090  1259lem4  13148  1259prm  13150  2503prm  13154  4001prm  13159  gsumccat  14480  sylow1lem1  14925  efgsres  15063  efgredleme  15068  icccvx  18464  reparphti  18511  ovolunlem1  18872  advlog  20017  cxpaddlelem  20107  ang180lem1  20123  ang180lem3  20125  asinlem2  20181  tanatan  20231  ppiub  20459  perfect1  20483  lgsquad2lem1  20613  rplogsumlem1  20649  selberg2lem  20715  logdivbnd  20721  pntrsumo1  20730  pntrsumbnd2  20732  gxsuc  20955  addinv  21035  fzspl  23046  cvmliftlem7  23837  eupares  23914  predfz  24274  ax5seglem3  24631  ax5seglem5  24633  axbtwnid  24639  axlowdimlem13  24654  axlowdimlem16  24657  axeuclidlem  24662  axcontlem2  24665  bpolycl  24859  bpolysum  24860  bpolydiflem  24861  bpoly2  24864  bpoly3  24865  fsumcube  24867  nndivsub  24968  ltflcei  24998  trran  25717  mettrifi  26576  irrapxlem1  27010  rmspecsqrnq  27094  jm2.24nn  27149  jm2.18  27184  jm2.23  27192  jm2.27c  27203  fmul01lt1lem2  27818  itgsinexp  27852  stoweidlem11  27863  stoweidlem14  27866  stoweidlem26  27878  stoweidlem34  27886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055
  Copyright terms: Public domain W3C validator