MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcand Structured version   Unicode version

Theorem npcand 9407
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
npcand  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )

Proof of Theorem npcand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 npcan 9306 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   CCcc 8980    + caddc 8985    - cmin 9283
This theorem is referenced by:  ltsubadd  9490  lesubadd  9492  lesub1  9514  lincmb01cmp  11030  expaddzlem  11415  bcpasc  11604  bcn2m1  11607  shftuz  11876  o1dif  12415  arisum2  12632  sin01bnd  12778  moddvds  12851  dvdsexp  12897  bitscmp  12942  hashdvds  13156  vdwlem5  13345  vdwlem6  13346  vdwlem8  13348  uniioombllem3  19469  i1faddlem  19577  itg1addlem4  19583  dvcnp2  19798  ftc1lem4  19915  dgrcolem2  20184  plydivlem4  20205  aaliou3lem8  20254  dvtaylp  20278  dvntaylp0  20280  taylthlem1  20281  efif1olem4  20439  tanarg  20506  quart1  20688  basellem9  20863  chtublem  20987  logexprlim  21001  dchrptlem1  21040  lgsquadlem1  21130  mudivsum  21216  logsqvma  21228  log2sumbnd  21230  selberglem2  21232  pntrlog2bndlem5  21267  pntlem3  21295  ostth2lem2  21320  cusgrasize2inds  21478  fargshiftfo  21617  fzspl  24141  fzsplit3  24142  bcm1n  24143  ballotlemfc0  24742  ballotlemfcc  24743  dmgmaddnn0  24803  lgamgulm2  24812  gamfac  24843  ntrivcvg  25217  ntrivcvgtail  25220  prodrblem  25247  fprodser  25267  fprodm1  25282  fprodshft  25292  risefacval2  25318  fallfacval2  25319  fallfacfwd  25344  binomfallfaclem2  25348  brbtwn2  25836  itg2addnclem  26246  ftc1cnnclem  26268  ftc1anc  26278  caushft  26458  pellexlem6  26888  rmspecfund  26963  rmyluc  26991  jm2.18  27050  jm2.25  27061  hbtlem4  27298  fmul01lt1lem2  27682  itgsinexp  27716  stoweidlem11  27727  stoweidlem14  27730  stoweidlem26  27742  stoweidlem34  27750  wallispilem5  27785  stirlinglem5  27794  stirlinglem11  27800  stirlinglem12  27801  cshwidxm1  28211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285
  Copyright terms: Public domain W3C validator