MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcand Unicode version

Theorem npcand 9161
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
npcand  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )

Proof of Theorem npcand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 npcan 9060 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  ltsubadd  9244  lesubadd  9246  lesub1  9268  lincmb01cmp  10777  expaddzlem  11145  bcpasc  11333  shftuz  11564  o1dif  12103  arisum2  12319  sin01bnd  12465  moddvds  12538  dvdsexp  12584  bitscmp  12629  hashdvds  12843  vdwlem5  13032  vdwlem6  13033  vdwlem8  13035  uniioombllem3  18940  i1faddlem  19048  itg1addlem4  19054  dvcnp2  19269  ftc1lem4  19386  dgrcolem2  19655  plydivlem4  19676  aaliou3lem8  19725  dvtaylp  19749  dvntaylp0  19751  taylthlem1  19752  efif1olem4  19907  tanarg  19970  quart1  20152  basellem9  20326  chtublem  20450  logexprlim  20464  dchrptlem1  20503  lgsquadlem1  20593  mudivsum  20679  logsqvma  20691  log2sumbnd  20693  selberglem2  20695  pntrlog2bndlem5  20730  pntlem3  20758  ostth2lem2  20783  fzsplit3  23031  bcm1n  23032  brbtwn2  24533  caushft  26477  pellexlem6  26919  rmspecfund  26994  rmyluc  27022  jm2.18  27081  jm2.25  27092  hbtlem4  27330  itgsinexp  27749  wallispilem5  27818  stirlinglem5  27827  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator