MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerid Structured version   Unicode version

Theorem nqerid 8811
Description: Corollary of nqereu 8807: the function  /Q acts as the identity on members of  Q.. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerid  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  =  A )

Proof of Theorem nqerid
StepHypRef Expression
1 nqerf 8808 . . 3  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
2 ffun 5594 . . 3  |-  ( /Q : ( N.  X.  N. ) --> Q.  ->  Fun  /Q )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  Fun  /Q
4 elpqn 8803 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
5 id 21 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  Q. )
6 enqer 8799 . . . . 5  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
87, 4erref 6926 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  ~Q  A )
9 df-erq 8791 . . . . 5  |-  /Q  =  (  ~Q  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  Q. ) )
109breqi 4219 . . . 4  |-  ( A /Q A  <->  A (  ~Q  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  Q. ) ) A )
11 brinxp2 4940 . . . 4  |-  ( A (  ~Q  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  Q. ) ) A  <->  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A  e.  Q.  /\  A  ~Q  A ) )
1210, 11bitri 242 . . 3  |-  ( A /Q A  <->  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  A  e.  Q.  /\  A  ~Q  A ) )
134, 5, 8, 12syl3anbrc 1139 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A /Q A )
14 funbrfv 5766 . 2  |-  ( Fun 
/Q  ->  ( A /Q A  ->  ( /Q `  A )  =  A ) )
153, 13, 14mpsyl 62 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3320   class class class wbr 4213    X. cxp 4877   Fun wfun 5449   -->wf 5451   ` cfv 5455    Er wer 6903   N.cnpi 8720    ~Q ceq 8727   Q.cnq 8728   /Qcerq 8730
This theorem is referenced by:  addassnq  8836  mulassnq  8837  distrnq  8839  mulidnq  8841  recmulnq  8842  1lt2nq  8851  ltexnq  8853  prlem934  8911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-ni 8750  df-mi 8752  df-lti 8753  df-enq 8789  df-nq 8790  df-erq 8791  df-1nq 8794
  Copyright terms: Public domain W3C validator