MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Unicode version

Theorem nqpr 8654
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 8617 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  x  <Q  A )
2 abn0 3486 . . . . 5  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/)  <->  E. x  x  <Q  A )
31, 2sylibr 203 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
4 0pss 3505 . . . 4  |-  ( (/)  C. 
{ x  |  x 
<Q  A }  <->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
53, 4sylibr 203 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  (/)  C.  {
x  |  x  <Q  A } )
6 ltrelnq 8566 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 4753 . . . . . 6  |-  ( x 
<Q  A  ->  ( x  e.  Q.  /\  A  e.  Q. ) )
87simpld 445 . . . . 5  |-  ( x 
<Q  A  ->  x  e. 
Q. )
98abssi 3261 . . . 4  |-  { x  |  x  <Q  A }  C_ 
Q.
10 ltsonq 8609 . . . . . . 7  |-  <Q  Or  Q.
1110, 6soirri 5085 . . . . . 6  |-  -.  A  <Q  A
12 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <Q  A  <->  A  <Q  A ) )
1312elabg 2928 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  A 
<Q  A ) )
1411, 13mtbiri 294 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
)
1514ancli 534 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  Q.  /\  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
16 ssnelpss 3530 . . . 4  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  C_  Q.  ->  ( ( A  e.  Q.  /\ 
-.  A  e.  {
x  |  x  <Q  A } )  ->  { x  |  x  <Q  A }  C.  Q. ) )
179, 15, 16mpsyl 59 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )
185, 17jca 518 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )
)
19 vex 2804 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
20 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <Q  A  <->  y  <Q  A ) )
2119, 20elab 2927 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  y 
<Q  A )
2210, 6sotri 5086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  <Q  y  /\  y  <Q  A )  -> 
z  <Q  A )
2322expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  ->  ( z 
<Q  y  ->  z  <Q  A ) )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  <Q  A )
)
25 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
26 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <Q  A  <->  z  <Q  A ) )
2725, 26elab 2927 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  z 
<Q  A )
2824, 27syl6ibr 218 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
2928alrimiv 1621 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } ) )
30 ltbtwnnq 8618 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  <->  E. z ( y 
<Q  z  /\  z  <Q  A ) )
3127anbi2i 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  <->  ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A ) )
3231biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
3332ancomd 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3433eximi 1566 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A )  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3530, 34sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( y 
<Q  A  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3635adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z ( z  e. 
{ x  |  x 
<Q  A }  /\  y  <Q  z ) )
37 df-rex 2562 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z  <->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3836, 37sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z )
3929, 38jca 518 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( A. z ( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) )
4021, 39sylan2b 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  ->  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
4140ralrimiva 2639 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. y  e.  { x  |  x 
<Q  A }  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
42 elnp 8627 . 2  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )  /\  A. y  e.  {
x  |  x  <Q  A }  ( A. z
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) ) )
4318, 41, 42sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165    C. wpss 3166   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   Q.cnq 8490    <Q cltq 8496   P.cnp 8497
This theorem is referenced by:  1pr  8655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-rq 8557  df-ltnq 8558  df-np 8621
  Copyright terms: Public domain W3C validator