MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Unicode version

Theorem nqpr 8638
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 8601 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  x  <Q  A )
2 abn0 3473 . . . . 5  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/)  <->  E. x  x  <Q  A )
31, 2sylibr 203 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
4 0pss 3492 . . . 4  |-  ( (/)  C. 
{ x  |  x 
<Q  A }  <->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
53, 4sylibr 203 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  (/)  C.  {
x  |  x  <Q  A } )
6 ltrelnq 8550 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 4737 . . . . . 6  |-  ( x 
<Q  A  ->  ( x  e.  Q.  /\  A  e.  Q. ) )
87simpld 445 . . . . 5  |-  ( x 
<Q  A  ->  x  e. 
Q. )
98abssi 3248 . . . 4  |-  { x  |  x  <Q  A }  C_ 
Q.
10 ltsonq 8593 . . . . . . 7  |-  <Q  Or  Q.
1110, 6soirri 5069 . . . . . 6  |-  -.  A  <Q  A
12 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <Q  A  <->  A  <Q  A ) )
1312elabg 2915 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  A 
<Q  A ) )
1411, 13mtbiri 294 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
)
1514ancli 534 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  Q.  /\  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
16 ssnelpss 3517 . . . 4  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  C_  Q.  ->  ( ( A  e.  Q.  /\ 
-.  A  e.  {
x  |  x  <Q  A } )  ->  { x  |  x  <Q  A }  C.  Q. ) )
179, 15, 16mpsyl 59 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )
185, 17jca 518 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )
)
19 vex 2791 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
20 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <Q  A  <->  y  <Q  A ) )
2119, 20elab 2914 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  y 
<Q  A )
2210, 6sotri 5070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  <Q  y  /\  y  <Q  A )  -> 
z  <Q  A )
2322expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  ->  ( z 
<Q  y  ->  z  <Q  A ) )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  <Q  A )
)
25 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
26 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <Q  A  <->  z  <Q  A ) )
2725, 26elab 2914 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  z 
<Q  A )
2824, 27syl6ibr 218 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
2928alrimiv 1617 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } ) )
30 ltbtwnnq 8602 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  <->  E. z ( y 
<Q  z  /\  z  <Q  A ) )
3127anbi2i 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  <->  ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A ) )
3231biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
3332ancomd 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3433eximi 1563 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A )  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3530, 34sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( y 
<Q  A  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3635adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z ( z  e. 
{ x  |  x 
<Q  A }  /\  y  <Q  z ) )
37 df-rex 2549 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z  <->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3836, 37sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z )
3929, 38jca 518 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( A. z ( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) )
4021, 39sylan2b 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  ->  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
4140ralrimiva 2626 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. y  e.  { x  |  x 
<Q  A }  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
42 elnp 8611 . 2  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )  /\  A. y  e.  {
x  |  x  <Q  A }  ( A. z
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) ) )
4318, 41, 42sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   Q.cnq 8474    <Q cltq 8480   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  1pr  8639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605
  Copyright terms: Public domain W3C validator