MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Structured version   Unicode version

Theorem nqpr 8893
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 8856 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  x  <Q  A )
2 abn0 3648 . . . . 5  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/)  <->  E. x  x  <Q  A )
31, 2sylibr 205 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
4 0pss 3667 . . . 4  |-  ( (/)  C. 
{ x  |  x 
<Q  A }  <->  { x  |  x  <Q  A }  =/=  (/) )
53, 4sylibr 205 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  (/)  C.  {
x  |  x  <Q  A } )
6 ltrelnq 8805 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 4928 . . . . . 6  |-  ( x 
<Q  A  ->  ( x  e.  Q.  /\  A  e.  Q. ) )
87simpld 447 . . . . 5  |-  ( x 
<Q  A  ->  x  e. 
Q. )
98abssi 3420 . . . 4  |-  { x  |  x  <Q  A }  C_ 
Q.
10 ltsonq 8848 . . . . . . 7  |-  <Q  Or  Q.
1110, 6soirri 5262 . . . . . 6  |-  -.  A  <Q  A
12 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <Q  A  <->  A  <Q  A ) )
1312elabg 3085 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  A 
<Q  A ) )
1411, 13mtbiri 296 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
)
1514ancli 536 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  e.  Q.  /\  -.  A  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
16 ssnelpss 3693 . . . 4  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  C_  Q.  ->  ( ( A  e.  Q.  /\ 
-.  A  e.  {
x  |  x  <Q  A } )  ->  { x  |  x  <Q  A }  C.  Q. ) )
179, 15, 16mpsyl 62 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )
185, 17jca 520 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )
)
19 vex 2961 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
20 breq1 4217 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <Q  A  <->  y  <Q  A ) )
2119, 20elab 3084 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  y 
<Q  A )
2210, 6sotri 5263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  <Q  y  /\  y  <Q  A )  -> 
z  <Q  A )
2322expcom 426 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  ->  ( z 
<Q  y  ->  z  <Q  A ) )
2423adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  <Q  A )
)
25 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
26 breq1 4217 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <Q  A  <->  z  <Q  A ) )
2725, 26elab 3084 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  z 
<Q  A )
2824, 27syl6ibr 220 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
2928alrimiv 1642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } ) )
30 ltbtwnnq 8857 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<Q  A  <->  E. z ( y 
<Q  z  /\  z  <Q  A ) )
3127anbi2i 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  <->  ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A ) )
3231biimpri 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( y  <Q  z  /\  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
) )
3332ancomd 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <Q  z  /\  z  <Q  A )  -> 
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3433eximi 1586 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( y  <Q 
z  /\  z  <Q  A )  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3530, 34sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( y 
<Q  A  ->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3635adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z ( z  e. 
{ x  |  x 
<Q  A }  /\  y  <Q  z ) )
37 df-rex 2713 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z  <->  E. z
( z  e.  {
x  |  x  <Q  A }  /\  y  <Q 
z ) )
3836, 37sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  ->  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z )
3929, 38jca 520 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  <Q  A )  -> 
( A. z ( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) )
4021, 39sylan2b 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  ->  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
4140ralrimiva 2791 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  A. y  e.  { x  |  x 
<Q  A }  ( A. z ( z  <Q 
y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A } )  /\  E. z  e.  { x  |  x  <Q  A }
y  <Q  z ) )
42 elnp 8866 . 2  |-  ( { x  |  x  <Q  A }  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  { x  |  x 
<Q  A }  /\  {
x  |  x  <Q  A }  C.  Q. )  /\  A. y  e.  {
x  |  x  <Q  A }  ( A. z
( z  <Q  y  ->  z  e.  { x  |  x  <Q  A }
)  /\  E. z  e.  { x  |  x 
<Q  A } y  <Q 
z ) ) )
4318, 41, 42sylanbrc 647 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  A }  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   Q.cnq 8729    <Q cltq 8735   P.cnp 8736
This theorem is referenced by:  1pr  8894
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ni 8751  df-pli 8752  df-mi 8753  df-lti 8754  df-plpq 8787  df-mpq 8788  df-ltpq 8789  df-enq 8790  df-nq 8791  df-erq 8792  df-plq 8793  df-mq 8794  df-1nq 8795  df-rq 8796  df-ltnq 8797  df-np 8860
  Copyright terms: Public domain W3C validator