Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Structured version   Unicode version

Theorem nqpr 8893
 Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 8856 . . . . 5
2 abn0 3648 . . . . 5
31, 2sylibr 205 . . . 4
4 0pss 3667 . . . 4
53, 4sylibr 205 . . 3
6 ltrelnq 8805 . . . . . . 7
76brel 4928 . . . . . 6
87simpld 447 . . . . 5
98abssi 3420 . . . 4
10 ltsonq 8848 . . . . . . 7
1110, 6soirri 5262 . . . . . 6
12 breq1 4217 . . . . . . 7
1312elabg 3085 . . . . . 6
1411, 13mtbiri 296 . . . . 5
1514ancli 536 . . . 4
16 ssnelpss 3693 . . . 4
179, 15, 16mpsyl 62 . . 3
185, 17jca 520 . 2
19 vex 2961 . . . . 5
20 breq1 4217 . . . . 5
2119, 20elab 3084 . . . 4
2210, 6sotri 5263 . . . . . . . . 9
2322expcom 426 . . . . . . . 8
2423adantl 454 . . . . . . 7
25 vex 2961 . . . . . . . 8
26 breq1 4217 . . . . . . . 8
2725, 26elab 3084 . . . . . . 7
2824, 27syl6ibr 220 . . . . . 6
2928alrimiv 1642 . . . . 5
30 ltbtwnnq 8857 . . . . . . . 8
3127anbi2i 677 . . . . . . . . . . 11
3231biimpri 199 . . . . . . . . . 10
3332ancomd 440 . . . . . . . . 9
3433eximi 1586 . . . . . . . 8
3530, 34sylbi 189 . . . . . . 7
3635adantl 454 . . . . . 6
37 df-rex 2713 . . . . . 6
3836, 37sylibr 205 . . . . 5
3929, 38jca 520 . . . 4
4021, 39sylan2b 463 . . 3
4140ralrimiva 2791 . 2
42 elnp 8866 . 2
4318, 41, 42sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360  wal 1550  wex 1551   wcel 1726  cab 2424   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   wss 3322   wpss 3323  c0 3630   class class class wbr 4214  cnq 8729   cltq 8735  cnp 8736 This theorem is referenced by:  1pr  8894 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ni 8751  df-pli 8752  df-mi 8753  df-lti 8754  df-plpq 8787  df-mpq 8788  df-ltpq 8789  df-enq 8790  df-nq 8791  df-erq 8792  df-plq 8793  df-mq 8794  df-1nq 8795  df-rq 8796  df-ltnq 8797  df-np 8860
 Copyright terms: Public domain W3C validator