MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdomn Unicode version

Theorem nrgdomn 18660
Description: A nonzero normed ring is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgdomn  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( R  e. Domn  <->  R  e. NzRing ) )

Proof of Theorem nrgdomn
StepHypRef Expression
1 domnnzr 16310 . 2  |-  ( R  e. Domn  ->  R  e. NzRing )
2 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing
)  ->  R  e. NzRing )
3 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( norm `  R )  =  (
norm `  R )
4 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (AbsVal `  R )  =  (AbsVal `  R )
53, 4nrgabv 18650 . . . . . 6  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( norm `  R
)  e.  (AbsVal `  R ) )
6 ne0i 3594 . . . . . 6  |-  ( (
norm `  R )  e.  (AbsVal `  R )  ->  (AbsVal `  R )  =/=  (/) )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (AbsVal `  R )  =/=  (/) )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing
)  ->  (AbsVal `  R
)  =/=  (/) )
94abvn0b 16317 . . . 4  |-  ( R  e. Domn 
<->  ( R  e. NzRing  /\  (AbsVal `  R )  =/=  (/) ) )
102, 8, 9sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing
)  ->  R  e. Domn )
1110ex 424 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( R  e. NzRing  ->  R  e. Domn ) )
121, 11impbid2 196 1  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( R  e. Domn  <->  R  e. NzRing ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2567   (/)c0 3588   ` cfv 5413  AbsValcabv 15859  NzRingcnzr 16283  Domncdomn 16295   normcnm 18577  NrmRingcnrg 18580
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ico 10878  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-abv 15860  df-nzr 16284  df-domn 16299  df-nrg 18586
  Copyright terms: Public domain W3C validator