MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdi Structured version   Unicode version

Theorem nrgdsdi 18703
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
nmmul.n  |-  N  =  ( norm `  R
)
nmmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
nrgdsdi.d  |-  D  =  ( dist `  R
)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdi  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D C ) )  =  ( ( A  .x.  B
) D ( A 
.x.  C ) ) )

Proof of Theorem nrgdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  R  e. NrmRing )
2 simpr1 964 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
3 nrgrng 18701 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
43adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  R  e.  Ring )
5 rnggrp 15671 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  R  e.  Grp )
7 simpr2 965 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
8 simpr3 966 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
9 nmmul.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  R
)
10 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
119, 10grpsubcl 14871 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B ( -g `  R ) C )  e.  X )
126, 7, 8, 11syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B
( -g `  R ) C )  e.  X
)
13 nmmul.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  R
)
14 nmmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
159, 13, 14nmmul 18702 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  A  e.  X  /\  ( B ( -g `  R
) C )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .x.  ( B ( -g `  R ) C ) ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( B (
-g `  R ) C ) ) ) )
161, 2, 12, 15syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( N `  ( A  .x.  ( B ( -g `  R
) C ) ) )  =  ( ( N `  A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  R
) C ) ) ) )
179, 14, 10, 4, 2, 7, 8rngsubdi 15710 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A  .x.  ( B ( -g `  R ) C ) )  =  ( ( A  .x.  B ) ( -g `  R
) ( A  .x.  C ) ) )
1817fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( N `  ( A  .x.  ( B ( -g `  R
) C ) ) )  =  ( N `
 ( ( A 
.x.  B ) (
-g `  R )
( A  .x.  C
) ) ) )
1916, 18eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( N `  A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  R
) C ) ) )  =  ( N `
 ( ( A 
.x.  B ) (
-g `  R )
( A  .x.  C
) ) ) )
20 nrgngp 18700 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
2120adantr 453 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  R  e. NrmGrp )
22 nrgdsdi.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  R
)
2313, 9, 10, 22ngpds 18652 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B D C )  =  ( N `  ( B ( -g `  R
) C ) ) )
2421, 7, 8, 23syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B D C )  =  ( N `  ( B ( -g `  R
) C ) ) )
2524oveq2d 6099 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D C ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( B (
-g `  R ) C ) ) ) )
269, 14rngcl 15679 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .x.  B )  e.  X )
274, 2, 7, 26syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A  .x.  B )  e.  X
)
289, 14rngcl 15679 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A  .x.  C )  e.  X )
294, 2, 8, 28syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A  .x.  C )  e.  X
)
3013, 9, 10, 22ngpds 18652 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  ( A  .x.  B )  e.  X  /\  ( A 
.x.  C )  e.  X )  ->  (
( A  .x.  B
) D ( A 
.x.  C ) )  =  ( N `  ( ( A  .x.  B ) ( -g `  R ) ( A 
.x.  C ) ) ) )
3121, 27, 29, 30syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A  .x.  B ) D ( A  .x.  C
) )  =  ( N `  ( ( A  .x.  B ) ( -g `  R
) ( A  .x.  C ) ) ) )
3219, 25, 313eqtr4d 2480 1  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D C ) )  =  ( ( A  .x.  B
) D ( A 
.x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    x. cmul 8997   Basecbs 13471   .rcmulr 13532   distcds 13540   Grpcgrp 14687   -gcsg 14690   Ringcrg 15662   normcnm 18626  NrmGrpcngp 18627  NrmRingcnrg 18629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-abv 15907  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nrg 18635
  Copyright terms: Public domain W3C validator