Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcn Structured version   Unicode version

Theorem nrginvrcn 18719
 Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x
nrginvrcn.u Unit
nrginvrcn.i
nrginvrcn.j
Assertion
Ref Expression
nrginvrcn NrmRing t t

Proof of Theorem nrginvrcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrgrng 18691 . . . 4 NrmRing
2 nrginvrcn.u . . . . 5 Unit
3 eqid 2435 . . . . 5 mulGrps mulGrps
42, 3unitgrp 15764 . . . 4 mulGrps
52, 3unitgrpbas 15763 . . . . 5 mulGrps
6 nrginvrcn.i . . . . . 6
72, 3, 6invrfval 15770 . . . . 5 mulGrps
85, 7grpinvf 14841 . . . 4 mulGrps
91, 4, 83syl 19 . . 3 NrmRing
10 1rp 10608 . . . . . . . 8
11 ne0i 3626 . . . . . . . 8
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7
131ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmRing
14 nrginvrcn.x . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514, 2unitss 15757 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmRing
1715, 16sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmRing
18 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmRing
1915, 18sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmRing
20 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15
2214, 20, 21rng1eq0 15694 . . . . . . . . . . . . . 14
2313, 17, 19, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 NrmRing
24 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 nrgngp 18690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NrmRing NrmGrp
26 ngpms 18639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NrmGrp
27 msxms 18476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2825, 26, 273syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmRing
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmRing
309adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NrmRing
3130ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmRing
3215, 31sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmRing
33 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3414, 33xmseq0 18486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3529, 32, 32, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmRing
3624, 35mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmRing
37 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmRing
3837rpgt0d 10643 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmRing
3936, 38eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmRing
40 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14
4339, 42syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13 NrmRing
4423, 43syld 42 . . . . . . . . . . . 12 NrmRing
4544imp 419 . . . . . . . . . . 11 NrmRing
4645an32s 780 . . . . . . . . . 10 NrmRing
4746a1d 23 . . . . . . . . 9 NrmRing
4847ralrimiva 2781 . . . . . . . 8 NrmRing
4948ralrimivw 2782 . . . . . . 7 NrmRing
50 r19.2z 3709 . . . . . . 7
5112, 49, 50sylancr 645 . . . . . 6 NrmRing
52 eqid 2435 . . . . . . 7
53 simpll 731 . . . . . . 7 NrmRing NrmRing
541ad2antrr 707 . . . . . . . 8 NrmRing
55 simpr 448 . . . . . . . 8 NrmRing
5620, 21isnzr 16322 . . . . . . . 8 NzRing
5754, 55, 56sylanbrc 646 . . . . . . 7 NrmRing NzRing
58 simplrl 737 . . . . . . 7 NrmRing
59 simplrr 738 . . . . . . 7 NrmRing
60 eqid 2435 . . . . . . 7
6114, 2, 6, 52, 33, 53, 57, 58, 59, 60nrginvrcnlem 18718 . . . . . 6 NrmRing
6251, 61pm2.61dane 2676 . . . . 5 NrmRing
6316, 18ovresd 6206 . . . . . . . . 9 NrmRing
6463breq1d 4214 . . . . . . . 8 NrmRing
65 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12
66 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12
679, 65, 66syl2an 464 . . . . . . . . . . 11 NrmRing
6867adantr 452 . . . . . . . . . 10 NrmRing
6968, 31ovresd 6206 . . . . . . . . 9 NrmRing
7069breq1d 4214 . . . . . . . 8 NrmRing
7164, 70imbi12d 312 . . . . . . 7 NrmRing
7271ralbidva 2713 . . . . . 6 NrmRing
7372rexbidv 2718 . . . . 5 NrmRing
7462, 73mpbird 224 . . . 4 NrmRing
7574ralrimivva 2790 . . 3 NrmRing
76 xpss12 4973 . . . . . . 7
7715, 15, 76mp2an 654 . . . . . 6
78 resabs1 5167 . . . . . 6
7977, 78ax-mp 8 . . . . 5
8025, 26syl 16 . . . . . . 7 NrmRing
81 eqid 2435 . . . . . . . 8
8214, 81xmsxmet 18478 . . . . . . 7
8380, 27, 823syl 19 . . . . . 6 NrmRing
84 xmetres2 18383 . . . . . 6
8583, 15, 84sylancl 644 . . . . 5 NrmRing
8679, 85syl5eqelr 2520 . . . 4 NrmRing
87 eqid 2435 . . . . 5
8887, 87metcn 18565 . . . 4
8986, 86, 88syl2anc 643 . . 3 NrmRing
909, 75, 89mpbir2and 889 . 2 NrmRing
91 nrginvrcn.j . . . . . . 7
9291, 14, 81mstopn 18474 . . . . . 6
9325, 26, 923syl 19 . . . . 5 NrmRing
9493oveq1d 6088 . . . 4 NrmRing t t
9579eqcomi 2439 . . . . . 6
96 eqid 2435 . . . . . 6
9795, 96, 87metrest 18546 . . . . 5 t
9883, 15, 97sylancl 644 . . . 4 NrmRing t
9994, 98eqtrd 2467 . . 3 NrmRing t
10099, 99oveq12d 6091 . 2 NrmRing t t
10190, 100eleqtrrd 2512 1 NrmRing t t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  c0 3620  cif 3731   class class class wbr 4204   cxp 4868   cres 4872  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cdiv 9669  c2 10041  crp 10604  cbs 13461   ↾s cress 13462  cds 13530   ↾t crest 13640  ctopn 13641  c0g 13715  cgrp 14677  mulGrpcmgp 15640  crg 15652  cur 15654  Unitcui 15736  cinvr 15768  NzRingcnzr 16320  cxmt 16678  cmopn 16683   ccn 17280  cxme 18339  cmt 18340  cnm 18616  NrmGrpcngp 18617  NrmRingcnrg 18619 This theorem is referenced by:  nrgtdrg  18720 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-abv 15897  df-nzr 16321  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nrg 18625
 Copyright terms: Public domain W3C validator