Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcnlem Structured version   Unicode version

Theorem nrginvrcnlem 18726
 Description: Lemma for nrginvrcn 18727. Compare this proof with reccn2 12390, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x
nrginvrcn.u Unit
nrginvrcn.i
nrginvrcn.n
nrginvrcn.d
nrginvrcn.r NrmRing
nrginvrcn.z NzRing
nrginvrcn.a
nrginvrcn.b
nrginvrcn.t
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3
2 1rp 10616 . . . . 5
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8 NrmRing
4 nrgngp 18698 . . . . . . . 8 NrmRing NrmGrp
53, 4syl 16 . . . . . . 7 NrmGrp
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9 Unit
86, 7unitss 15765 . . . . . . . 8
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8
108, 9sseldi 3346 . . . . . . 7
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8 NzRing
12 eqid 2436 . . . . . . . . 9
137, 12nzrunit 16337 . . . . . . . 8 NzRing
1411, 9, 13syl2anc 643 . . . . . . 7
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8
166, 15, 12nmrpcl 18666 . . . . . . 7 NrmGrp
175, 10, 14, 16syl3anc 1184 . . . . . 6
18 nrginvrcn.b . . . . . 6
1917, 18rpmulcld 10664 . . . . 5
20 ifcl 3775 . . . . 5
212, 19, 20sylancr 645 . . . 4
2217rphalfcld 10660 . . . 4
2321, 22rpmulcld 10664 . . 3
241, 23syl5eqel 2520 . 2
255adantr 452 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
269adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
276, 7unitcl 15764 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11
296, 15nmcl 18662 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
3025, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
3130recnd 9114 . . . . . . . . 9
32 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12
338, 32sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11
346, 15nmcl 18662 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
3525, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
3635recnd 9114 . . . . . . . . 9
37 ngpgrp 18646 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
3825, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12
39 nrgrng 18699 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmRing
403, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14
437, 42, 6rnginvcl 15781 . . . . . . . . . . . . 13
4441, 26, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
457, 42, 6rnginvcl 15781 . . . . . . . . . . . . 13
4641, 32, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
47 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
486, 47grpsubcl 14869 . . . . . . . . . . . 12
4938, 44, 46, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
506, 15nmcl 18662 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
5125, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
5251recnd 9114 . . . . . . . . 9
5331, 36, 52mul32d 9276 . . . . . . . 8
543adantr 452 . . . . . . . . . . 11 NrmRing
55 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
566, 15, 55nmmul 18700 . . . . . . . . . . 11 NrmRing
5754, 28, 49, 56syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46rngsubdi 15708 . . . . . . . . . . . 12
59 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
607, 42, 55, 59unitrinv 15783 . . . . . . . . . . . . . 14
6141, 26, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
6261oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12
6358, 62eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11
6463fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
6557, 64eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9
6665oveq1d 6096 . . . . . . . 8
676, 59rngidcl 15684 . . . . . . . . . . . 12
6841, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11
696, 55rngcl 15677 . . . . . . . . . . . 12
7041, 28, 46, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
716, 47grpsubcl 14869 . . . . . . . . . . 11
7238, 68, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
736, 15, 55nmmul 18700 . . . . . . . . . 10 NrmRing
7454, 72, 33, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33rngsubdir 15709 . . . . . . . . . . 11
766, 55, 59rnglidm 15687 . . . . . . . . . . . . 13
7741, 33, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
786, 55rngass 15680 . . . . . . . . . . . . . 14
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13
807, 42, 55, 59unitlinv 15782 . . . . . . . . . . . . . . 15
8141, 32, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
8281oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13
836, 55, 59rngridm 15688 . . . . . . . . . . . . . 14
8441, 28, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
8579, 82, 843eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12
8677, 85oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11
8775, 86eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10
8887fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
8974, 88eqtr3d 2470 . . . . . . . 8
9053, 66, 893eqtrd 2472 . . . . . . 7
916, 47grpsubcl 14869 . . . . . . . . . . 11
9238, 33, 28, 91syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
936, 15nmcl 18662 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
9425, 92, 93syl2anc 643 . . . . . . . . 9
9594recnd 9114 . . . . . . . 8
9617adantr 452 . . . . . . . . . . 11
9711adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
987, 12nzrunit 16337 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
9997, 32, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
1006, 15, 12nmrpcl 18666 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
10125, 33, 99, 100syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
10296, 101rpmulcld 10664 . . . . . . . . . 10
103102rpred 10648 . . . . . . . . 9
104103recnd 9114 . . . . . . . 8
105102rpne0d 10653 . . . . . . . 8
10695, 104, 52, 105divmuld 9812 . . . . . . 7
10790, 106mpbird 224 . . . . . 6
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9
10915, 6, 47, 108ngpdsr 18651 . . . . . . . 8 NrmGrp
11025, 28, 33, 109syl3anc 1184 . . . . . . 7
111110oveq1d 6096 . . . . . 6
11215, 6, 47, 108ngpds 18650 . . . . . . 7 NrmGrp
11325, 44, 46, 112syl3anc 1184 . . . . . 6
114107, 111, 1133eqtr4rd 2479 . . . . 5
115110, 94eqeltrd 2510 . . . . . . 7
11624adantr 452 . . . . . . . 8
117116rpred 10648 . . . . . . 7
11818adantr 452 . . . . . . . . 9
119118rpred 10648 . . . . . . . 8
120103, 119remulcld 9116 . . . . . . 7
121 simprr 734 . . . . . . 7
12219adantr 452 . . . . . . . . . 10
12396rphalfcld 10660 . . . . . . . . . 10
124122, 123rpmulcld 10664 . . . . . . . . 9
125124rpred 10648 . . . . . . . 8
126 1re 9090 . . . . . . . . . . 11
127122rpred 10648 . . . . . . . . . . 11
128 min2 10777 . . . . . . . . . . 11
129126, 127, 128sylancr 645 . . . . . . . . . 10
13021adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
131130rpred 10648 . . . . . . . . . . 11
132131, 127, 123lemul1d 10687 . . . . . . . . . 10
133129, 132mpbid 202 . . . . . . . . 9
1341, 133syl5eqbr 4245 . . . . . . . 8
135123rpred 10648 . . . . . . . . . 10
136312halvesd 10213 . . . . . . . . . . . 12
13730, 35resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . 14
1386, 15, 47nm2dif 18671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmGrp
13925, 28, 33, 138syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
14015, 6, 47, 108ngpds 18650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmGrp
14125, 28, 33, 140syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
142139, 141breqtrrd 4238 . . . . . . . . . . . . . 14
143 min1 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144126, 127, 143sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146131, 145, 123lemul1d 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147144, 146mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1481, 147syl5eqbr 4245 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149135recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150149mulid2d 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151148, 150breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . 15
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 9230 . . . . . . . . . . . . . 14
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 9228 . . . . . . . . . . . . 13
15430, 35, 135ltsubadd2d 9624 . . . . . . . . . . . . 13
155153, 154mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
156136, 155eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . 11
157135, 35, 135ltadd1d 9619 . . . . . . . . . . 11
158156, 157mpbird 224 . . . . . . . . . 10
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 10700 . . . . . . . . 9
160119recnd 9114 . . . . . . . . . 10
16131, 36, 160mul32d 9276 . . . . . . . . 9
162159, 161breqtrrd 4238 . . . . . . . 8
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 9228 . . . . . . 7
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 9231 . . . . . 6
165115, 119, 102ltdivmuld 10695 . . . . . 6
166164, 165mpbird 224 . . . . 5
167114, 166eqbrtrd 4232 . . . 4
168167expr 599 . . 3
169168ralrimiva 2789 . 2
170 breq2 4216 . . . . 5
171170imbi1d 309 . . . 4
172171ralbidv 2725 . . 3
173172rspcev 3052 . 2
17424, 169, 173syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  cif 3739   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cr 8989  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291   cdiv 9677  c2 10049  crp 10612  cbs 13469  cmulr 13530  cds 13538  c0g 13723  cgrp 14685  csg 14688  crg 15660  cur 15662  Unitcui 15744  cinvr 15776  NzRingcnzr 16328  cnm 18624  NrmGrpcngp 18625  NrmRingcnrg 18627 This theorem is referenced by:  nrginvrcn  18727 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-topgen 13667  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-abv 15905  df-nzr 16329  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nrg 18633
 Copyright terms: Public domain W3C validator