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Theorem nrginvrcnlem 18201
Description: Lemma for nrginvrcn 18202. Compare this proof with reccn2 12070, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
nrginvrcn.u  |-  U  =  (Unit `  R )
nrginvrcn.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
nrginvrcn.n  |-  N  =  ( norm `  R
)
nrginvrcn.d  |-  D  =  ( dist `  R
)
nrginvrcn.r  |-  ( ph  ->  R  e. NrmRing )
nrginvrcn.z  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
nrginvrcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
nrginvrcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
nrginvrcn.t  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  x  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    ph, y    x, R, y    x, T, y   
x, U, y    x, A    x, B    x, D
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( y)    B( y)    D( y)    N( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )
2 1rp 10358 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e. NrmRing )
4 nrgngp 18173 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
53, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. NrmGrp )
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  R
)
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  (Unit `  R )
86, 7unitss 15442 . . . . . . . 8  |-  U  C_  X
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
108, 9sseldi 3178 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
12 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
137, 12nzrunit 16018 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  A  e.  U )  ->  A  =/=  ( 0g `  R
) )
1411, 9, 13syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  ( 0g
`  R ) )
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  R
)
166, 15, 12nmrpcl 18141 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( N `  A )  e.  RR+ )
175, 10, 14, 16syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR+ )
18 nrginvrcn.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
1917, 18rpmulcld 10406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR+ )
20 ifcl 3601 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( N `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
212, 19, 20sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_ 
( ( N `  A )  x.  B
) ,  1 ,  ( ( N `  A )  x.  B
) )  e.  RR+ )
2217rphalfcld 10402 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  /  2
)  e.  RR+ )
2321, 22rpmulcld 10406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  e.  RR+ )
241, 23syl5eqel 2367 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
255adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e. NrmGrp )
269adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  A  e.  U )
276, 7unitcl 15441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  U  ->  A  e.  X )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  A  e.  X )
296, 15nmcl 18137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
3025, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  A
)  e.  RR )
3130recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  A
)  e.  CC )
32 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
y  e.  U )
338, 32sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
y  e.  X )
346, 15nmcl 18137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
3525, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  y
)  e.  RR )
3635recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  y
)  e.  CC )
37 ngpgrp 18121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e. NrmGrp  ->  R  e.  Grp )
3825, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e.  Grp )
39 nrgrng 18174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
403, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e.  Ring )
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( invr `  R
)
437, 42, 6rnginvcl 15458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  (
I `  A )  e.  X )
4441, 26, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( I `  A
)  e.  X )
457, 42, 6rnginvcl 15458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  U )  ->  (
I `  y )  e.  X )
4641, 32, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( I `  y
)  e.  X )
47 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
486, 47grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( I `  A
)  e.  X  /\  ( I `  y
)  e.  X )  ->  ( ( I `
 A ) (
-g `  R )
( I `  y
) )  e.  X
)
4938, 44, 46, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) )  e.  X )
506, 15nmcl 18137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) )  e.  RR )
5125, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  e.  RR )
5251recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  e.  CC )
5331, 36, 52mul32d 9022 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) ) )  =  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) ) ) )  x.  ( N `  y )
) )
543adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e. NrmRing )
55 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
566, 15, 55nmmul 18175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  A  e.  X  /\  ( ( I `  A ) ( -g `  R
) ( I `  y ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( .r `  R
) ( ( I `
 A ) (
-g `  R )
( I `  y
) ) ) )  =  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) ) ) )
5754, 28, 49, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  ( A ( .r `  R ) ( ( I `  A ) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) ) )  =  ( ( N `  A )  x.  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) ) ) ) )
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46rngsubdi 15385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( ( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  =  ( ( A ( .r `  R
) ( I `  A ) ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )
59 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
607, 42, 55, 59unitrinv 15460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  ( A ( .r `  R ) ( I `
 A ) )  =  ( 1r `  R ) )
6141, 26, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) )  =  ( 1r
`  R ) )
6261oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( I `  A
) ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) )  =  ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )
6358, 62eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( ( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  =  ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )
6463fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  ( A ( .r `  R ) ( ( I `  A ) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) ) )  =  ( N `
 ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) ) )
6557, 64eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) ) )  =  ( N `  ( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) ) )
6665oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  (
( I `  A
) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `  y
) ) )
676, 59rngidcl 15361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  X )
6841, 67syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( 1r `  R
)  e.  X )
696, 55rngcl 15354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  X  /\  (
I `  y )  e.  X )  ->  ( A ( .r `  R ) ( I `
 y ) )  e.  X )
7041, 28, 46, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) )  e.  X )
716, 47grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  X  /\  ( A ( .r `  R ) ( I `
 y ) )  e.  X )  -> 
( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) )  e.  X )
7238, 68, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) )  e.  X )
736, 15, 55nmmul 18175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  (
( 1r `  R
) ( -g `  R
) ( A ( .r `  R ) ( I `  y
) ) )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( (
( 1r `  R
) ( -g `  R
) ( A ( .r `  R ) ( I `  y
) ) ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( N `  ( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
7454, 72, 33, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) ( .r `  R
) y ) )  =  ( ( N `
 ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `  y
) ) )
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33rngsubdir 15386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) ( .r
`  R ) y )  =  ( ( ( 1r `  R
) ( .r `  R ) y ) ( -g `  R
) ( ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ( .r `  R ) y ) ) )
766, 55, 59rnglidm 15364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  X )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) y )  =  y )
7741, 33, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y )  =  y )
786, 55rngass 15357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  X  /\  ( I `  y
)  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( A ( .r `  R ) ( I `
 y ) ) ( .r `  R
) y )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( I `  y
) ( .r `  R ) y ) ) )
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( I `  y
) ) ( .r
`  R ) y )  =  ( A ( .r `  R
) ( ( I `
 y ) ( .r `  R ) y ) ) )
807, 42, 55, 59unitlinv 15459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  U )  ->  (
( I `  y
) ( .r `  R ) y )  =  ( 1r `  R ) )
8141, 32, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  y ) ( .r
`  R ) y )  =  ( 1r
`  R ) )
8281oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( ( I `  y
) ( .r `  R ) y ) )  =  ( A ( .r `  R
) ( 1r `  R ) ) )
836, 55, 59rngridm 15365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  A )
8441, 28, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A ( .r
`  R ) ( 1r `  R ) )  =  A )
8579, 82, 843eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( I `  y
) ) ( .r
`  R ) y )  =  A )
8677, 85oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) ( -g `  R ) ( ( A ( .r `  R ) ( I `
 y ) ) ( .r `  R
) y ) )  =  ( y (
-g `  R ) A ) )
8775, 86eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R ) (
-g `  R )
( A ( .r
`  R ) ( I `  y ) ) ) ( .r
`  R ) y )  =  ( y ( -g `  R
) A ) )
8887fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) ( .r `  R
) y ) )  =  ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) ) )
8974, 88eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  ( ( 1r `  R ) ( -g `  R ) ( A ( .r `  R
) ( I `  y ) ) ) )  x.  ( N `
 y ) )  =  ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) ) )
9053, 66, 893eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) ) )  =  ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) ) )
916, 47grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( y ( -g `  R ) A )  e.  X )
9238, 33, 28, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( y ( -g `  R ) A )  e.  X )
936, 15nmcl 18137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
y ( -g `  R
) A )  e.  X )  ->  ( N `  ( y
( -g `  R ) A ) )  e.  RR )
9425, 92, 93syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
y ( -g `  R
) A ) )  e.  RR )
9594recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  (
y ( -g `  R
) A ) )  e.  CC )
9617adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  A
)  e.  RR+ )
9711adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  R  e. NzRing )
987, 12nzrunit 16018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  y  e.  U )  ->  y  =/=  ( 0g `  R
) )
9997, 32, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
y  =/=  ( 0g
`  R ) )
1006, 15, 12nmrpcl 18141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  y  e.  X  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( N `  y )  e.  RR+ )
10125, 33, 99, 100syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  y
)  e.  RR+ )
10296, 101rpmulcld 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
)  e.  RR+ )
103102rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
)  e.  RR )
104103recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
)  e.  CC )
105102rpne0d 10395 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
)  =/=  0 )
10695, 104, 52, 105divmuld 9558 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 ( y (
-g `  R ) A ) )  / 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
) )  =  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R
) ( I `  y ) ) )  <-> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  ( N `  ( (
I `  A )
( -g `  R ) ( I `  y
) ) ) )  =  ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) ) ) )
10790, 106mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  ( y ( -g `  R ) A ) )  /  ( ( N `  A )  x.  ( N `  y ) ) )  =  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) ) ) )
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( dist `  R
)
10915, 6, 47, 108ngpdsr 18126 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  =  ( N `  (
y ( -g `  R
) A ) ) )
11025, 28, 33, 109syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  =  ( N `
 ( y (
-g `  R ) A ) ) )
111110oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A D y )  /  (
( N `  A
)  x.  ( N `
 y ) ) )  =  ( ( N `  ( y ( -g `  R
) A ) )  /  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) ) ) )
11215, 6, 47, 108ngpds 18125 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
I `  A )  e.  X  /\  (
I `  y )  e.  X )  ->  (
( I `  A
) D ( I `
 y ) )  =  ( N `  ( ( I `  A ) ( -g `  R ) ( I `
 y ) ) ) )
11325, 44, 46, 112syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  =  ( N `
 ( ( I `
 A ) (
-g `  R )
( I `  y
) ) ) )
114107, 111, 1133eqtr4rd 2326 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  =  ( ( A D y )  /  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) ) ) )
115110, 94eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  e.  RR )
11624adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  e.  RR+ )
117116rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  e.  RR )
11818adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  B  e.  RR+ )
119118rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  B  e.  RR )
120103, 119remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  B
)  e.  RR )
121 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  <  T )
12219adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR+ )
12396rphalfcld 10402 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  /  2
)  e.  RR+ )
124122, 123rpmulcld 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  B )  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
125124rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  B )  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
126 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
127122rpred 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR )
128 min2 10518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  B
) )
129126, 127, 128sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( N `  A )  x.  B ) )
13021adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
131130rpred 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  e.  RR )
132131, 127, 123lemul1d 10429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  <_ 
( ( N `  A )  x.  B
)  <->  ( if ( 1  <_  ( ( N `  A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  <_  (
( ( N `  A )  x.  B
)  x.  ( ( N `  A )  /  2 ) ) ) )
133129, 132mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  <_  (
( ( N `  A )  x.  B
)  x.  ( ( N `  A )  /  2 ) ) )
1341, 133syl5eqbr 4056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  <_  ( ( ( N `  A )  x.  B )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) ) )
135123rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  /  2
)  e.  RR )
136312halvesd 9957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  / 
2 )  +  ( ( N `  A
)  /  2 ) )  =  ( N `
 A ) )
13730, 35resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  -  ( N `  y )
)  e.  RR )
1386, 15, 47nm2dif 18146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 y ) )  <_  ( N `  ( A ( -g `  R
) y ) ) )
13925, 28, 33, 138syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  -  ( N `  y )
)  <_  ( N `  ( A ( -g `  R ) y ) ) )
14015, 6, 47, 108ngpds 18125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A ( -g `  R
) y ) ) )
14125, 28, 33, 140syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  =  ( N `
 ( A (
-g `  R )
y ) ) )
142139, 141breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  -  ( N `  y )
)  <_  ( A D y ) )
143 min1 10517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( N `  A )  x.  B
)  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  <_ 
1 )
144126, 127, 143sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  if ( 1  <_  (
( N `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `  A
)  x.  B ) )  <_  1 )
145126a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
1  e.  RR )
146131, 145, 123lemul1d 10429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  <_ 
1  <->  ( if ( 1  <_  ( ( N `  A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  <_  (
1  x.  ( ( N `  A )  /  2 ) ) ) )
147144, 146mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( ( N `
 A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( N `
 A )  x.  B ) )  x.  ( ( N `  A )  /  2
) )  <_  (
1  x.  ( ( N `  A )  /  2 ) ) )
1481, 147syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  <_  ( 1  x.  ( ( N `  A )  /  2
) ) )
149135recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  /  2
)  e.  CC )
150149mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( 1  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  =  ( ( N `  A )  /  2 ) )
151148, 150breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  <_  ( ( N `
 A )  / 
2 ) )
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  <  ( ( N `  A )  /  2 ) )
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  -  ( N `  y )
)  <  ( ( N `  A )  /  2 ) )
15430, 35, 135ltsubadd2d 9370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  -  ( N `  y ) )  <  ( ( N `  A )  /  2 )  <->  ( N `  A )  <  (
( N `  y
)  +  ( ( N `  A )  /  2 ) ) ) )
155153, 154mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( N `  A
)  <  ( ( N `  y )  +  ( ( N `
 A )  / 
2 ) ) )
156136, 155eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  / 
2 )  +  ( ( N `  A
)  /  2 ) )  <  ( ( N `  y )  +  ( ( N `
 A )  / 
2 ) ) )
157135, 35, 135ltadd1d 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  / 
2 )  <  ( N `  y )  <->  ( ( ( N `  A )  /  2
)  +  ( ( N `  A )  /  2 ) )  <  ( ( N `
 y )  +  ( ( N `  A )  /  2
) ) ) )
158156, 157mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( N `  A )  /  2
)  <  ( N `  y ) )
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 10442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  B )  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  <  ( ( ( N `  A
)  x.  B )  x.  ( N `  y ) ) )
160119recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  B  e.  CC )
16131, 36, 160mul32d 9022 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  ( N `  y
) )  x.  B
)  =  ( ( ( N `  A
)  x.  B )  x.  ( N `  y ) ) )
162159, 161breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( N `
 A )  x.  B )  x.  (
( N `  A
)  /  2 ) )  <  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 y ) )  x.  B ) )
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 8974 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  ->  T  <  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  y ) )  x.  B ) )
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 8977 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( A D y )  <  ( ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 y ) )  x.  B ) )
165115, 119, 102ltdivmuld 10437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( ( A D y )  / 
( ( N `  A )  x.  ( N `  y )
) )  <  B  <->  ( A D y )  <  ( ( ( N `  A )  x.  ( N `  y ) )  x.  B ) ) )
166164, 165mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( A D y )  /  (
( N `  A
)  x.  ( N `
 y ) ) )  <  B )
167114, 166eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  U  /\  ( A D y )  < 
T ) )  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B )
168167expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  (
( A D y )  <  T  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )
169168ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  T  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )
170 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( x  =  T  ->  (
( A D y )  <  x  <->  ( A D y )  < 
T ) )
171170imbi1d 308 . . . 4  |-  ( x  =  T  ->  (
( ( A D y )  <  x  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B )  <-> 
( ( A D y )  <  T  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) ) )
172171ralbidv 2563 . . 3  |-  ( x  =  T  ->  ( A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  x  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B )  <->  A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  T  ->  ( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) ) )
173172rspcev 2884 . 2  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. y  e.  U  (
( A D y )  <  T  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( A D y )  < 
x  ->  ( (
I `  A ) D ( I `  y ) )  < 
B ) )
17424, 169, 173syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  U  ( ( A D y )  <  x  -> 
( ( I `  A ) D ( I `  y ) )  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   distcds 13217   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Ringcrg 15337   1rcur 15339  Unitcui 15421   invrcinvr 15453  NzRingcnzr 16009   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmRingcnrg 18102
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  18202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-abv 15582  df-nzr 16010  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nrg 18108
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