MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgrng Structured version   Unicode version

Theorem nrgrng 18691
Description: A normed ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgrng  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem nrgrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( norm `  R )  =  (
norm `  R )
2 eqid 2435 . . 3  |-  (AbsVal `  R )  =  (AbsVal `  R )
31, 2nrgabv 18689 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( norm `  R
)  e.  (AbsVal `  R ) )
42abvrcl 15901 . 2  |-  ( (
norm `  R )  e.  (AbsVal `  R )  ->  R  e.  Ring )
53, 4syl 16 1  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5446   Ringcrg 15652  AbsValcabv 15896   normcnm 18616  NrmRingcnrg 18619
This theorem is referenced by:  nrgdsdi  18693  nrgdsdir  18694  nmdvr  18698  nrgtgp  18700  rlmnlm  18716  nrgtrg  18717  nrginvrcnlem  18718  nrginvrcn  18719  nrgtdrg  18720  rlmbn  19307  iistmd  24292  zrhnm  24345  cnzh  24346  rezh  24347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fv 5454  df-abv 15897  df-nrg 18625
  Copyright terms: Public domain W3C validator