MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgrng Unicode version

Theorem nrgrng 18571
Description: A normed ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgrng  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem nrgrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . 3  |-  ( norm `  R )  =  (
norm `  R )
2 eqid 2388 . . 3  |-  (AbsVal `  R )  =  (AbsVal `  R )
31, 2nrgabv 18569 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( norm `  R
)  e.  (AbsVal `  R ) )
42abvrcl 15837 . 2  |-  ( (
norm `  R )  e.  (AbsVal `  R )  ->  R  e.  Ring )
53, 4syl 16 1  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ` cfv 5395   Ringcrg 15588  AbsValcabv 15832   normcnm 18496  NrmRingcnrg 18499
This theorem is referenced by:  nrgdsdi  18573  nrgdsdir  18574  nmdvr  18578  nrgtgp  18580  rlmnlm  18596  nrgtrg  18597  nrginvrcnlem  18598  nrginvrcn  18599  nrgtdrg  18600  rlmbn  19183  iistmd  24105  zrhnm  24155  rrhre  24184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fv 5403  df-abv 15833  df-nrg 18505
  Copyright terms: Public domain W3C validator