MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtrg Structured version   Unicode version

Theorem nrgtrg 18756
Description: A normed ring is a topological ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtrg  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )

Proof of Theorem nrgtrg
StepHypRef Expression
1 nrgtgp 18739 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopGrp )
2 nrgrng 18730 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  Ring )
3 eqid 2442 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
43rngmgp 15701 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
6 tgptps 18141 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TopGrp  ->  R  e.  TopSp )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopSp )
8 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
108, 9istps 17032 . . . . 5  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
117, 10sylib 190 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( TopOpen `  R
)  e.  (TopOn `  ( Base `  R )
) )
123, 8mgpbas 15685 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
133, 9mgptopn 15688 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (mulGrp `  R
) )
1412, 13istps 17032 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  TopSp  <->  ( TopOpen
`  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
1511, 14sylibr 205 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e.  TopSp )
16 rlmnlm 18755 . . . 4  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (ringLMod `  R )  e. NrmMod )
17 rlmsca2 16303 . . . . 5  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
18 rlmscaf 16310 . . . . 5  |-  ( + f `  (mulGrp `  R ) )  =  ( .s f `  (ringLMod `  R ) )
19 rlmtopn 16305 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (ringLMod `  R
) )
20 df-base 13505 . . . . . . . . 9  |-  Base  = Slot  1
2120, 8strfvi 13538 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (  _I  `  R ) )
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (  _I  `  R
) ) )
23 df-tset 13579 . . . . . . . . 9  |- TopSet  = Slot  9
24 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  R )
2523, 24strfvi 13538 . . . . . . . 8  |-  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  (  _I  `  R
) )
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  (TopSet `  R )  =  (TopSet `  (  _I  `  R ) ) )
2722, 26topnpropd 13695 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( TopOpen `  R )  =  ( TopOpen `  (  _I  `  R ) ) )
2827trud 1333 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  (  _I  `  R ) )
2917, 18, 19, 28nlmvscn 18754 . . . 4  |-  ( (ringLMod `  R )  e. NrmMod  ->  ( + f `  (mulGrp `  R ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  R )  tX  ( TopOpen
`  R ) )  Cn  ( TopOpen `  R
) ) )
3016, 29syl 16 . . 3  |-  ( R  e. NrmRing  ->  ( + f `  (mulGrp `  R )
)  e.  ( ( ( TopOpen `  R )  tX  ( TopOpen `  R )
)  Cn  ( TopOpen `  R ) ) )
31 eqid 2442 . . . 4  |-  ( + f `  (mulGrp `  R ) )  =  ( + f `  (mulGrp `  R ) )
3231, 13istmd 18135 . . 3  |-  ( (mulGrp `  R )  e. TopMnd  <->  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  R )  e.  TopSp  /\  ( + f `  (mulGrp `  R
) )  e.  ( ( ( TopOpen `  R
)  tX  ( TopOpen `  R ) )  Cn  ( TopOpen `  R )
) ) )
335, 15, 30, 32syl3anbrc 1139 . 2  |-  ( R  e. NrmRing  ->  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
343istrg 18224 . 2  |-  ( R  e.  TopRing 
<->  ( R  e.  TopGrp  /\  R  e.  Ring  /\  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
)
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1139 1  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e.  TopRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1727    _I cid 4522   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1c1 9022   9c9 10087   Basecbs 13500  TopSetcts 13566   TopOpenctopn 13680   Mndcmnd 14715   + fcplusf 14718  mulGrpcmgp 15679   Ringcrg 15691  ringLModcrglmod 16272  TopOnctopon 16990   TopSpctps 16992    Cn ccn 17319    tX ctx 17623  TopMndctmd 18131   TopGrpctgp 18132   TopRingctrg 18216  NrmRingcnrg 18658  NrmModcnlm 18659
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  18759  nlmtlm  18760  iistmd  24331  qqhcn  24406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-plusf 14722  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-mulg 14846  df-subg 14972  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-subrg 15897  df-abv 15936  df-lmod 15983  df-scaf 15984  df-sra 16275  df-rgmod 16276  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-tmd 18133  df-tgp 18134  df-trg 18220  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-nm 18661  df-ngp 18662  df-nrg 18664  df-nlm 18665
  Copyright terms: Public domain W3C validator