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Theorem nrmhmph 17485
Description: Normality is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )

Proof of Theorem nrmhmph
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 17467 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J  Homeo  K )  =/=  (/) )
2 n0 3464 . . 3  |-  ( ( J  Homeo  K )  =/=  (/)  <->  E. f  f  e.  ( J  Homeo  K ) )
3 hmeocn 17451 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
43adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 16971 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  K  e.  Top )
7 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  J  e.  Nrm )
84adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  x  e.  K )
10 cnima 16994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' f "
x )  e.  J
)
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " x )  e.  J )
12 inss1 3389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Clsd `  K )  i^i  ~P x )  C_  ( Clsd `  K )
13 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) )
1412, 13sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ( Clsd `  K )
)
15 cnclima 16997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' f "
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
168, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " y )  e.  ( Clsd `  J
) )
17 inss2 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Clsd `  K )  i^i  ~P x )  C_  ~P x
1817, 13sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  e.  ~P x )
19 elpwi 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P x  -> 
y  C_  x )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  y  C_  x )
21 imass2 5049 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  x  ->  ( `' f " y
)  C_  ( `' f " x ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( `' f " y )  C_  ( `' f " x
) )
23 nrmsep3 17083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( ( `' f
" x )  e.  J  /\  ( `' f " y )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( `' f " y )  C_  ( `' f " x
) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) )
247, 11, 16, 22, 23syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f " y
)  C_  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
25 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  f  e.  ( J  Homeo  K ) )
26 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  w  e.  J )
27 hmeoima 17456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  w  e.  J )  ->  (
f " w )  e.  K )
2825, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
f " w )  e.  K )
29 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  ( `' f " y
)  C_  w )
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. J  =  U. J
31 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. K  =  U. K
3230, 31hmeof1o 17455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
3325, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
34 f1ofun 5474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  Fun  f )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  Fun  f )
3614adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  e.  ( Clsd `  K
) )
3731cldss 16766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( Clsd `  K
)  ->  y  C_  U. K )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_ 
U. K )
39 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  f : U. J -onto-> U. K )
40 forn 5454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. J -onto-> U. K  ->  ran  f  =  U. K )
4133, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  ran  f  =  U. K )
4238, 41sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_ 
ran  f )
43 funimass1 5325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  f  /\  y  C_ 
ran  f )  -> 
( ( `' f
" y )  C_  w  ->  y  C_  (
f " w ) ) )
4435, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( `' f "
y )  C_  w  ->  y  C_  ( f " w ) ) )
4529, 44mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  y  C_  ( f " w
) )
46 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4746ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  w  C_ 
U. J )
4830hmeocls 17459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  w  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
4925, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
50 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) )
51 nrmtop 17064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
5251ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5330clsss3 16796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
5452, 47, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
U. J )
55 f1odm 5476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
5633, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  dom  f  =  U. J )
5754, 56sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )
58 funimass3 5641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  f  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5935, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( f " (
( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
6050, 59mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
f " ( ( cls `  J ) `
 w ) ) 
C_  x )
6149, 60eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  (
( cls `  K
) `  ( f " w ) ) 
C_  x )
62 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  ( f " w
) ) )
63 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( cls `  K
) `  z )  =  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) ) )
6463sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( ( cls `  K
) `  z )  C_  x  <->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)
6562, 64anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x )  <->  ( y  C_  ( f " w
)  /\  ( ( cls `  K ) `  ( f " w
) )  C_  x
) ) )
6665rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f " w
)  e.  K  /\  ( y  C_  (
f " w )  /\  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6728, 45, 61, 66syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f
" y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
6867expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) ) )  /\  w  e.  J )  ->  ( ( ( `' f " y ) 
C_  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x ) ) )
6968rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  ( E. w  e.  J  (
( `' f "
y )  C_  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x ) ) )
7024, 69mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `
 z )  C_  x ) )
7170ralrimivva 2635 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  (
( Clsd `  K )  i^i  ~P x ) E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
72 isnrm 17063 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Nrm  <->  ( K  e.  Top  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  ( ( Clsd `  K
)  i^i  ~P x
) E. z  e.  K  ( y  C_  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
) )
736, 71, 72sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  K  e.  Nrm )
7473expcom 424 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
7574exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm )
)
762, 75sylbi 187 . 2  |-  ( ( J  Homeo  K )  =/=  (/)  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
771, 76sylbi 187 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Nrm  ->  K  e.  Nrm ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755    Cn ccn 16954   Nrmcnrm 17038    Homeo chmeo 17444    ~= chmph 17445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758  df-cn 16957  df-nrm 17045  df-hmeo 17446  df-hmph 17447
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