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Theorem nrmmetd 18149
Description: Show that a group norm generates a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrmmetd.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nrmmetd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
nrmmetd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
nrmmetd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
nrmmetd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
nrmmetd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
nrmmetd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
nrmmetd  |-  ( ph  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x,  .0. , y    x, F, y    ph, x, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem nrmmetd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmmetd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 nrmmetd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
3 nrmmetd.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 nrmmetd.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
53, 4grpsubf 14594 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
62, 5syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  .-  : ( X  X.  X ) --> X )
7 fco 5436 . . 3  |-  ( ( F : X --> RR  /\  .-  : ( X  X.  X ) --> X )  ->  ( F  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
81, 6, 7syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
9 opelxpi 4758 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
10 fvco3 5634 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. a ,  b >. )
) )
116, 9, 10syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. a ,  b >. )
) )
12 df-ov 5903 . . . . . . 7  |-  ( a ( F  o.  .-  ) b )  =  ( ( F  o.  .-  ) `  <. a ,  b >. )
13 df-ov 5903 . . . . . . . 8  |-  ( a 
.-  b )  =  (  .-  `  <. a ,  b >. )
1413fveq2i 5566 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( a  .-  b ) )  =  ( F `  (  .-  `  <. a ,  b
>. ) )
1511, 12, 143eqtr4g 2373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  .-  ) b
)  =  ( F `
 ( a  .-  b ) ) )
1615eqeq1d 2324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
( F `  (
a  .-  b )
)  =  0 ) )
173, 4grpsubcl 14595 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( a  .-  b
)  e.  X )
18173expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
a  .-  b )  e.  X )
192, 18sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a  .-  b
)  e.  X )
20 nrmmetd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
2120ralrimiva 2660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
22 fveq2 5563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a  .-  b
) ) )
2322eqeq1d 2324 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a  .-  b ) )  =  0 ) )
24 eqeq1 2322 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( a  .-  b )  =  .0.  ) )
2523, 24bibi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( F `  (
a  .-  b )
)  =  0  <->  (
a  .-  b )  =  .0.  ) ) )
2625rspccva 2917 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  ( a  .-  b
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 ( a  .-  b ) )  =  0  <->  ( a  .-  b )  =  .0.  ) )
2721, 26sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  .-  b )  e.  X
)  ->  ( ( F `  ( a  .-  b ) )  =  0  <->  ( a  .-  b )  =  .0.  ) )
2819, 27syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a  .-  b
) )  =  0  <-> 
( a  .-  b
)  =  .0.  )
)
29 nrmmetd.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
303, 29, 4grpsubeq0 14601 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( ( a  .-  b )  =  .0.  <->  a  =  b ) )
31303expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( a  .-  b
)  =  .0.  <->  a  =  b ) )
322, 31sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a  .-  b )  =  .0.  <->  a  =  b ) )
3316, 28, 323bitrd 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
341adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  F : X --> RR )
3519adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a  .-  b )  e.  X )
36 ffvelrn 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  ( a  .-  b
)  e.  X )  ->  ( F `  ( a  .-  b
) )  e.  RR )
3734, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  e.  RR )
382adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
39 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  a  e.  X )
40 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  c  e.  X )
413, 4grpsubcl 14595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( a  .-  c
)  e.  X )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a  .-  c )  e.  X )
43 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> RR  /\  ( a  .-  c
)  e.  X )  ->  ( F `  ( a  .-  c
) )  e.  RR )
4434, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  e.  RR )
45 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  b  e.  X )
463, 4grpsubcl 14595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( b  .-  c
)  e.  X )
4738, 45, 40, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
b  .-  c )  e.  X )
48 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> RR  /\  ( b  .-  c
)  e.  X )  ->  ( F `  ( b  .-  c
) )  e.  RR )
4934, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( b  .-  c ) )  e.  RR )
5044, 49readdcld 8907 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) )  e.  RR )
513, 4grpsubcl 14595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  c  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( c  .-  a
)  e.  X )
5238, 40, 39, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c  .-  a )  e.  X )
53 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> RR  /\  ( c  .-  a
)  e.  X )  ->  ( F `  ( c  .-  a
) )  e.  RR )
5434, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( c  .-  a ) )  e.  RR )
553, 4grpsubcl 14595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  c  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( c  .-  b
)  e.  X )
5638, 40, 45, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c  .-  b )  e.  X )
57 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> RR  /\  ( c  .-  b
)  e.  X )  ->  ( F `  ( c  .-  b
) )  e.  RR )
5834, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( c  .-  b ) )  e.  RR )
5954, 58readdcld 8907 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
c  .-  a )
)  +  ( F `
 ( c  .-  b ) ) )  e.  RR )
603, 4grpnnncan2 14610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( a  .-  c
)  .-  ( b  .-  c ) )  =  ( a  .-  b
) )
6138, 39, 45, 40, 60syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( a  .-  c
)  .-  ( b  .-  c ) )  =  ( a  .-  b
) )
6261fveq2d 5567 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
a  .-  c )  .-  ( b  .-  c
) ) )  =  ( F `  (
a  .-  b )
) )
63 nrmmetd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
6463ralrimivva 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
66 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  (
x  .-  y )  =  ( ( a 
.-  c )  .-  y ) )
6766fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  =  ( F `  (
( a  .-  c
)  .-  y )
) )
68 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a  .-  c
) ) )
6968oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( a  .-  c ) )  +  ( F `  y
) ) )
7067, 69breq12d 4073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  (
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( a  .-  c )  .-  y
) )  <_  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
71 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  (
( a  .-  c
)  .-  y )  =  ( ( a 
.-  c )  .-  ( b  .-  c
) ) )
7271fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  ( F `  ( (
a  .-  c )  .-  y ) )  =  ( F `  (
( a  .-  c
)  .-  ( b  .-  c ) ) ) )
73 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( b  .-  c
) ) )
7473oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( a  .-  c ) )  +  ( F `  (
b  .-  c )
) ) )
7572, 74breq12d 4073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  (
( F `  (
( a  .-  c
)  .-  y )
)  <_  ( ( F `  ( a  .-  c ) )  +  ( F `  y
) )  <->  ( F `  ( ( a  .-  c )  .-  (
b  .-  c )
) )  <_  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) ) ) )
7670, 75rspc2va 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  .-  c )  e.  X  /\  ( b  .-  c
)  e.  X )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  ( ( a  .-  c )  .-  (
b  .-  c )
) )  <_  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) ) )
7742, 47, 65, 76syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
a  .-  c )  .-  ( b  .-  c
) ) )  <_ 
( ( F `  ( a  .-  c
) )  +  ( F `  ( b 
.-  c ) ) ) )
7862, 77eqbrtrrd 4082 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  <_ 
( ( F `  ( a  .-  c
) )  +  ( F `  ( b 
.-  c ) ) ) )
79 eleq1 2376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  c  ->  (
b  e.  X  <->  c  e.  X ) )
8079anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  (
( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  <->  ( a  e.  X  /\  c  e.  X ) ) )
8180anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  c  ->  (
( ph  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X
) ) ) )
82 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  c  ->  (
a  .-  b )  =  ( a  .-  c ) )
8382fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  =  ( F `  (
a  .-  c )
) )
84 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  c  ->  (
b  .-  a )  =  ( c  .-  a ) )
8584fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  ( F `  ( b  .-  a ) )  =  ( F `  (
c  .-  a )
) )
8683, 85breq12d 4073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  c  ->  (
( F `  (
a  .-  b )
)  <_  ( F `  ( b  .-  a
) )  <->  ( F `  ( a  .-  c
) )  <_  ( F `  ( c  .-  a ) ) ) )
8781, 86imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  (
( ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  <_ 
( F `  (
b  .-  a )
) )  <->  ( ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  a
) ) ) ) )
882adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  G  e.  Grp )
893, 29grpidcl 14559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  .0.  e.  X )
91 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
92 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
933, 4grpsubcl 14595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( b  .-  a
)  e.  X )
9488, 91, 92, 93syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( b  .-  a
)  e.  X )
9564adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
96 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  .0.  ->  (
x  .-  y )  =  (  .0.  .-  y
) )
9796fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  =  ( F `  (  .0.  .-  y ) ) )
98 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  x )  =  ( F `  .0.  ) )
9998oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  y
) ) )
10097, 99breq12d 4073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  (  .0.  .-  y
) )  <_  (
( F `  .0.  )  +  ( F `  y ) ) ) )
101 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  (  .0.  .-  y )  =  (  .0.  .-  (
b  .-  a )
) )
102101fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  ( F `  (  .0.  .-  y ) )  =  ( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) ) )
103 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( b  .-  a
) ) )
104103oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  (
( F `  .0.  )  +  ( F `  y ) )  =  ( ( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a ) ) ) )
105102, 104breq12d 4073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  (
( F `  (  .0.  .-  y ) )  <_  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  y
) )  <->  ( F `  (  .0.  .-  (
b  .-  a )
) )  <_  (
( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a
) ) ) ) )
106100, 105rspc2va 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  .0.  e.  X  /\  ( b  .-  a
)  e.  X )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) )  <_  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  (
b  .-  a )
) ) )
10790, 94, 95, 106syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) )  <_  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  (
b  .-  a )
) ) )
108 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1093, 4, 108, 29grpinvval2 14598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  .-  a
)  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( b  .-  a ) )  =  (  .0.  .-  (
b  .-  a )
) )
11088, 94, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
b  .-  a )
)  =  (  .0.  .-  ( b  .-  a
) ) )
1113, 4, 108grpinvsub 14597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
b  .-  a )
)  =  ( a 
.-  b ) )
11288, 91, 92, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
b  .-  a )
)  =  ( a 
.-  b ) )
113110, 112eqtr3d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
(  .0.  .-  (
b  .-  a )
)  =  ( a 
.-  b ) )
114113fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) )  =  ( F `  ( a  .-  b
) ) )
1152, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  .0.  e.  X )
116 pm5.501 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  (
x  =  .0.  <->  ( F `  x )  =  0 ) ) )
117 bicom 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  .0.  <->  ( F `  x )  =  0 )  <->  ( ( F `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
118116, 117syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) ) )
11998eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  .0.  )  =  0 ) )
120118, 119bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( F `  .0.  )  =  0 ) )
121120rspccva 2917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( F `  .0.  )  =  0
)
12221, 115, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )
123122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  .0.  )  =  0 )
124123oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a ) ) )  =  ( 0  +  ( F `  (
b  .-  a )
) ) )
1251adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  F : X --> RR )
126 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : X --> RR  /\  ( b  .-  a
)  e.  X )  ->  ( F `  ( b  .-  a
) )  e.  RR )
127125, 94, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  a )
)  e.  RR )
128127recnd 8906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  a )
)  e.  CC )
129128addid2d 9058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( 0  +  ( F `  ( b 
.-  a ) ) )  =  ( F `
 ( b  .-  a ) ) )
130124, 129eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a ) ) )  =  ( F `  ( b  .-  a
) ) )
131107, 114, 1303brtr3d 4089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a  .-  b )
)  <_  ( F `  ( b  .-  a
) ) )
13287, 131chvarv 1985 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  a
) ) )
133132adantrlr 703 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  <_ 
( F `  (
c  .-  a )
) )
134 eleq1 2376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  X  <->  b  e.  X ) )
135134anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  e.  X  /\  c  e.  X
)  <->  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) ) )
136135anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  /\  (
a  e.  X  /\  c  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) ) ) )
137 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
a  .-  c )  =  ( b  .-  c ) )
138137fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  =  ( F `  (
b  .-  c )
) )
139 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
c  .-  a )  =  ( c  .-  b ) )
140139fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( c  .-  a ) )  =  ( F `  (
c  .-  b )
) )
141138, 140breq12d 4073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  a
) )  <->  ( F `  ( b  .-  c
) )  <_  ( F `  ( c  .-  b ) ) ) )
142136, 141imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  <_ 
( F `  (
c  .-  a )
) )  <->  ( ( ph  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  b
) ) ) ) )
143142, 132chvarv 1985 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  b
) ) )
144143adantrll 702 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( b  .-  c ) )  <_ 
( F `  (
c  .-  b )
) )
14544, 49, 54, 58, 133, 144le2addd 9435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) )  <_  ( ( F `
 ( c  .-  a ) )  +  ( F `  (
c  .-  b )
) ) )
14637, 50, 59, 78, 145letrd 9018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  <_ 
( ( F `  ( c  .-  a
) )  +  ( F `  ( c 
.-  b ) ) ) )
14715adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a ( F  o.  .-  ) b )  =  ( F `  (
a  .-  b )
) )
1486adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
149 opelxpi 4758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X )  -> 
<. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
15040, 39, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X ) )
151 fvco3 5634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  a >. )
) )
152148, 150, 151syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F  o.  .-  ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  (  .-  ` 
<. c ,  a >.
) ) )
153 df-ov 5903 . . . . . . . . 9  |-  ( c ( F  o.  .-  ) a )  =  ( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  a >. )
154 df-ov 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
.-  a )  =  (  .-  `  <. c ,  a >. )
155154fveq2i 5566 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( c  .-  a ) )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  a
>. ) )
156152, 153, 1553eqtr4g 2373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c ( F  o.  .-  ) a )  =  ( F `  (
c  .-  a )
) )
157 opelxpi 4758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
15840, 45, 157syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X ) )
159 fvco3 5634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  b >. )
) )
160148, 158, 159syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F  o.  .-  ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  ` 
<. c ,  b >.
) ) )
161 df-ov 5903 . . . . . . . . 9  |-  ( c ( F  o.  .-  ) b )  =  ( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  b >. )
162 df-ov 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
.-  b )  =  (  .-  `  <. c ,  b >. )
163162fveq2i 5566 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( c  .-  b ) )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  b
>. ) )
164160, 161, 1633eqtr4g 2373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c ( F  o.  .-  ) b )  =  ( F `  (
c  .-  b )
) )
165156, 164oveq12d 5918 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( c ( F  o.  .-  ) a
)  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) )  =  ( ( F `
 ( c  .-  a ) )  +  ( F `  (
c  .-  b )
) ) )
166146, 147, 1653brtr4d 4090 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a ( F  o.  .-  ) b )  <_ 
( ( c ( F  o.  .-  )
a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) )
167166expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( c  e.  X  ->  ( a ( F  o.  .-  ) b
)  <_  ( (
c ( F  o.  .-  ) a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b
) ) ) )
168167ralrimiv 2659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. c  e.  X  ( a ( F  o.  .-  ) b
)  <_  ( (
c ( F  o.  .-  ) a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b
) ) )
16933, 168jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( ( a ( F  o.  .-  ) b )  =  0  <->  a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a
( F  o.  .-  ) b )  <_ 
( ( c ( F  o.  .-  )
a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) )
170169ralrimivva 2669 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( ( a ( F  o.  .-  ) b )  =  0  <->  a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a
( F  o.  .-  ) b )  <_ 
( ( c ( F  o.  .-  )
a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) )
171 fvex 5577 . . . 4  |-  ( Base `  G )  e.  _V
1723, 171eqeltri 2386 . . 3  |-  X  e. 
_V
173 ismet 17940 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X )  <->  ( ( F  o.  .-  ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a ( F  o.  .-  )
b )  <_  (
( c ( F  o.  .-  ) a
)  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) ) ) )
174172, 173ax-mp 8 . 2  |-  ( ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
)  <->  ( ( F  o.  .-  ) :
( X  X.  X
) --> RR  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a ( F  o.  .-  )
b )  <_  (
( c ( F  o.  .-  ) a
)  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) ) )
1758, 170, 174sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   _Vcvv 2822   <.cop 3677   class class class wbr 4060    X. cxp 4724    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782    + caddc 8785    <_ cle 8913   Basecbs 13195   0gc0g 13449   Grpcgrp 14411   inv gcminusg 14412   -gcsg 14414   Metcme 16419
This theorem is referenced by:  abvmet  18150  tngngpd  18221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-met 16426
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