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Theorem nrmmetd 18622
 Description: Show that a group norm generates a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrmmetd.x
nrmmetd.m
nrmmetd.z
nrmmetd.g
nrmmetd.f
nrmmetd.1
nrmmetd.2
Assertion
Ref Expression
nrmmetd
Distinct variable groups:   ,,   , ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem nrmmetd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmmetd.f . . 3
2 nrmmetd.g . . . 4
3 nrmmetd.x . . . . 5
4 nrmmetd.m . . . . 5
53, 4grpsubf 14868 . . . 4
62, 5syl 16 . . 3
7 fco 5600 . . 3
81, 6, 7syl2anc 643 . 2
9 opelxpi 4910 . . . . . . . 8
10 fvco3 5800 . . . . . . . 8
116, 9, 10syl2an 464 . . . . . . 7
12 df-ov 6084 . . . . . . 7
13 df-ov 6084 . . . . . . . 8
1413fveq2i 5731 . . . . . . 7
1511, 12, 143eqtr4g 2493 . . . . . 6
1615eqeq1d 2444 . . . . 5
173, 4grpsubcl 14869 . . . . . . . 8
18173expb 1154 . . . . . . 7
192, 18sylan 458 . . . . . 6
20 nrmmetd.1 . . . . . . . 8
2120ralrimiva 2789 . . . . . . 7
22 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10
2322eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9
24 eqeq1 2442 . . . . . . . . 9
2523, 24bibi12d 313 . . . . . . . 8
2625rspccva 3051 . . . . . . 7
2721, 26sylan 458 . . . . . 6
2819, 27syldan 457 . . . . 5
29 nrmmetd.z . . . . . . . 8
303, 29, 4grpsubeq0 14875 . . . . . . 7
31303expb 1154 . . . . . 6
322, 31sylan 458 . . . . 5
3316, 28, 323bitrd 271 . . . 4
341adantr 452 . . . . . . . . 9
3519adantrr 698 . . . . . . . . 9
3634, 35ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8
372adantr 452 . . . . . . . . . . 11
38 simprll 739 . . . . . . . . . . 11
39 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
403, 4grpsubcl 14869 . . . . . . . . . . 11
4137, 38, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
4234, 41ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9
43 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11
443, 4grpsubcl 14869 . . . . . . . . . . 11
4537, 43, 39, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
4634, 45ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9
4742, 46readdcld 9115 . . . . . . . 8
483, 4grpsubcl 14869 . . . . . . . . . . 11
4937, 39, 38, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
5034, 49ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9
513, 4grpsubcl 14869 . . . . . . . . . . 11
5237, 39, 43, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
5334, 52ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9
5450, 53readdcld 9115 . . . . . . . 8
553, 4grpnnncan2 14884 . . . . . . . . . . 11
5637, 38, 43, 39, 55syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10
5756fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
58 nrmmetd.2 . . . . . . . . . . . 12
5958ralrimivva 2798 . . . . . . . . . . 11
6059adantr 452 . . . . . . . . . 10
61 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13
6261fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12
63 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13
6463oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12
6562, 64breq12d 4225 . . . . . . . . . . 11
66 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13
6766fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12
68 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13
6968oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12
7067, 69breq12d 4225 . . . . . . . . . . 11
7165, 70rspc2va 3059 . . . . . . . . . 10
7241, 45, 60, 71syl21anc 1183 . . . . . . . . 9
7357, 72eqbrtrrd 4234 . . . . . . . 8
74 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . 14
7574anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13
7675anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12
77 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14
7877fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13
79 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14
8079fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13
8178, 80breq12d 4225 . . . . . . . . . . . 12
8276, 81imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
832adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
843, 29grpidcl 14833 . . . . . . . . . . . . . 14
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
86 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14
87 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14
883, 4grpsubcl 14869 . . . . . . . . . . . . . 14
8983, 86, 87, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
9059adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
91 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15
9592, 94breq12d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14
96 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15
10097, 99breq12d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14
10195, 100rspc2va 3059 . . . . . . . . . . . . 13
10285, 89, 90, 101syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . 12
103 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1043, 4, 103, 29grpinvval2 14872 . . . . . . . . . . . . . . 15
10583, 89, 104syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
1063, 4, 103grpinvsub 14871 . . . . . . . . . . . . . . 15
10783, 86, 87, 106syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
108105, 107eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13
109108fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12
1102, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111 pm5.501 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112 bicom 192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113111, 112syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11493eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115113, 114bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116115rspccva 3051 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11721, 110, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
118117adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
119118oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13
1201adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120, 89ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14
123122addid2d 9267 . . . . . . . . . . . . 13
124119, 123eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12
125102, 109, 1243brtr3d 4241 . . . . . . . . . . 11
12682, 125chvarv 1969 . . . . . . . . . 10
127126adantrlr 704 . . . . . . . . 9
128 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . 14
129128anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13
130129anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12
131 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14
132131fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13
133 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14
134133fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13
135132, 134breq12d 4225 . . . . . . . . . . . 12
136130, 135imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
137136, 126chvarv 1969 . . . . . . . . . 10
138137adantrll 703 . . . . . . . . 9
13942, 46, 50, 53, 127, 138le2addd 9644 . . . . . . . 8
14036, 47, 54, 73, 139letrd 9227 . . . . . . 7
14115adantrr 698 . . . . . . 7
1426adantr 452 . . . . . . . . . 10
143 opelxpi 4910 . . . . . . . . . . 11
14439, 38, 143syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
145 fvco3 5800 . . . . . . . . . 10
146142, 144, 145syl2anc 643 . . . . . . . . 9
147 df-ov 6084 . . . . . . . . 9
148 df-ov 6084 . . . . . . . . . 10
149148fveq2i 5731 . . . . . . . . 9
150146, 147, 1493eqtr4g 2493 . . . . . . . 8
151 opelxpi 4910 . . . . . . . . . . 11
15239, 43, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
153 fvco3 5800 . . . . . . . . . 10
154142, 152, 153syl2anc 643 . . . . . . . . 9
155 df-ov 6084 . . . . . . . . 9
156 df-ov 6084 . . . . . . . . . 10
157156fveq2i 5731 . . . . . . . . 9
158154, 155, 1573eqtr4g 2493 . . . . . . . 8
159150, 158oveq12d 6099 . . . . . . 7
160140, 141, 1593brtr4d 4242 . . . . . 6
161160expr 599 . . . . 5
162161ralrimiv 2788 . . . 4
16333, 162jca 519 . . 3
164163ralrimivva 2798 . 2
165 fvex 5742 . . . 4
1663, 165eqeltri 2506 . . 3
167 ismet 18353 . . 3
168166, 167ax-mp 8 . 2
1698, 164, 168sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956  cop 3817   class class class wbr 4212   cxp 4876   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cr 8989  cc0 8990   caddc 8993   cle 9121  cbs 13469  c0g 13723  cgrp 14685  cminusg 14686  csg 14688  cme 16687 This theorem is referenced by:  abvmet  18623  tngngpd  18694 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-met 16696
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