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Theorem nrmr0reg 17773
Description: A normal R0 space is also regular. These spaces are usually referred to as normal regular spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmr0reg  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e. 
Fre )  ->  J  e.  Reg )

Proof of Theorem nrmr0reg
Dummy variables  x  y  a  b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 17392 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e. 
Fre )  ->  J  e.  Top )
3 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Nrm )
4 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  J )
52adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Top )
6 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
76toptopon 16990 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
85, 7sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
9 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (KQ `  J )  e.  Fre )
10 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  x )
11 elunii 4012 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  J )  ->  y  e.  U. J
)
1210, 4, 11syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  U. J )
13 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U. J  |->  { w  e.  J  | 
z  e.  w }
)  =  ( z  e.  U. J  |->  { w  e.  J  | 
z  e.  w }
)
1413r0cld 17762 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre  /\  y  e.  U. J
)  ->  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  e.  ( Clsd `  J )
)
158, 9, 12, 14syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  e.  ( Clsd `  J ) )
16 simp1rr 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J  /\  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) )  -> 
y  e.  x )
174adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J )  ->  x  e.  J )
18 elequ2 1730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
a  e.  b  <->  a  e.  x ) )
19 elequ2 1730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
y  e.  b  <->  y  e.  x ) )
2018, 19bibi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
( a  e.  b  <-> 
y  e.  b )  <-> 
( a  e.  x  <->  y  e.  x ) ) )
2120rspcv 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  J  ->  ( A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b )  ->  ( a  e.  x  <->  y  e.  x
) ) )
2217, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J )  -> 
( A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b )  ->  ( a  e.  x  <->  y  e.  x
) ) )
23223impia 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J  /\  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) )  -> 
( a  e.  x  <->  y  e.  x ) )
2416, 23mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Nrm  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  /\  a  e.  U. J  /\  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) )  -> 
a  e.  x )
2524rabssdv 3415 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  C_  x )
26 nrmsep3 17411 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( x  e.  J  /\  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  e.  (
Clsd `  J )  /\  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  C_  x
) )  ->  E. z  e.  J  ( {
a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  C_  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  x ) )
273, 4, 15, 25, 26syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. z  e.  J  ( {
a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  C_  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  x ) )
28 biidd 229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y  e.  b  <->  y  e.  b ) )
2928ralrimivw 2782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  A. b  e.  J  ( y  e.  b  <->  y  e.  b ) )
30 elequ1 1728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  y  ->  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) )
3130bibi1d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  (
( a  e.  b  <-> 
y  e.  b )  <-> 
( y  e.  b  <-> 
y  e.  b ) ) )
3231ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  ( A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b )  <->  A. b  e.  J  ( y  e.  b  <-> 
y  e.  b ) ) )
3332elrab 3084 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { a  e. 
U. J  |  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  <->  ( y  e.  U. J  /\  A. b  e.  J  (
y  e.  b  <->  y  e.  b ) ) )
3412, 29, 33sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) } )
35 ssel 3334 . . . . . . 7  |-  ( { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  C_  z  ->  ( y  e.  { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <-> 
y  e.  b ) }  ->  y  e.  z ) )
3634, 35syl5com 28 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  C_  z  ->  y  e.  z ) )
3736anim1d 548 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( { a  e. 
U. J  |  A. b  e.  J  (
a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  C_  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  x )  ->  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  x )
) )
3837reximdv 2809 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( E. z  e.  J  ( { a  e.  U. J  |  A. b  e.  J  ( a  e.  b  <->  y  e.  b ) }  C_  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  x )  ->  E. z  e.  J  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  x ) ) )
3927, 38mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. z  e.  J  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  x ) )
4039ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e. 
Fre )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  J  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  x ) )
41 isreg 17388 . 2  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. z  e.  J  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  x ) ) )
422, 40, 41sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e. 
Fre )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   ` cfv 5446   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   Clsdccld 17072   clsccl 17074   Frect1 17363   Regcreg 17365   Nrmcnrm 17366  KQckq 17717
This theorem is referenced by:  nrmreg  17848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-qtop 13725  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cn 17283  df-t1 17370  df-reg 17372  df-nrm 17373  df-kq 17718
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