Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmr0reg Structured version   Unicode version

Theorem nrmr0reg 17773
 Description: A normal R0 space is also regular. These spaces are usually referred to as normal regular spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmr0reg KQ

Proof of Theorem nrmr0reg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 17392 . . 3
21adantr 452 . 2 KQ
3 simpll 731 . . . . 5 KQ
4 simprl 733 . . . . 5 KQ
52adantr 452 . . . . . . 7 KQ
6 eqid 2435 . . . . . . . 8
76toptopon 16990 . . . . . . 7 TopOn
85, 7sylib 189 . . . . . 6 KQ TopOn
9 simplr 732 . . . . . 6 KQ KQ
10 simprr 734 . . . . . . 7 KQ
11 elunii 4012 . . . . . . 7
1210, 4, 11syl2anc 643 . . . . . 6 KQ
13 eqid 2435 . . . . . . 7
1413r0cld 17762 . . . . . 6 TopOn KQ
158, 9, 12, 14syl3anc 1184 . . . . 5 KQ
16 simp1rr 1023 . . . . . . 7 KQ
174adantr 452 . . . . . . . . 9 KQ
18 elequ2 1730 . . . . . . . . . . 11
19 elequ2 1730 . . . . . . . . . . 11
2018, 19bibi12d 313 . . . . . . . . . 10
2120rspcv 3040 . . . . . . . . 9
2217, 21syl 16 . . . . . . . 8 KQ
23223impia 1150 . . . . . . 7 KQ
2416, 23mpbird 224 . . . . . 6 KQ
2524rabssdv 3415 . . . . 5 KQ
26 nrmsep3 17411 . . . . 5
273, 4, 15, 25, 26syl13anc 1186 . . . 4 KQ
28 biidd 229 . . . . . . . . 9 KQ
2928ralrimivw 2782 . . . . . . . 8 KQ
30 elequ1 1728 . . . . . . . . . . 11
3130bibi1d 311 . . . . . . . . . 10
3231ralbidv 2717 . . . . . . . . 9
3332elrab 3084 . . . . . . . 8
3412, 29, 33sylanbrc 646 . . . . . . 7 KQ
35 ssel 3334 . . . . . . 7
3634, 35syl5com 28 . . . . . 6 KQ
3736anim1d 548 . . . . 5 KQ
3837reximdv 2809 . . . 4 KQ
3927, 38mpd 15 . . 3 KQ
4039ralrimivva 2790 . 2 KQ
41 isreg 17388 . 2
422, 40, 41sylanbrc 646 1 KQ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   wss 3312  cuni 4007   cmpt 4258  cfv 5446  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccld 17072  ccl 17074  ct1 17363  creg 17365  cnrm 17366  KQckq 17717 This theorem is referenced by:  nrmreg  17848 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-qtop 13725  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cn 17283  df-t1 17370  df-reg 17372  df-nrm 17373  df-kq 17718
 Copyright terms: Public domain W3C validator