MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmreg Unicode version

Theorem nrmreg 17779
Description: A normal T1 space is regular Hausdorff. In other words, a T4 space is T3 . One can get away with slightly weaker assumptions; see nrmr0reg 17704. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmreg  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  J  e.  Fre )  ->  J  e.  Reg )

Proof of Theorem nrmreg
StepHypRef Expression
1 t1r0 17776 . 2  |-  ( J  e.  Fre  ->  (KQ `  J )  e.  Fre )
2 nrmr0reg 17704 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  (KQ `  J )  e. 
Fre )  ->  J  e.  Reg )
31, 2sylan2 461 1  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  J  e.  Fre )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   ` cfv 5396   Frect1 17295   Regcreg 17297   Nrmcnrm 17298  KQckq 17648
This theorem is referenced by:  nrmhaus  17781  metreg  18766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-suc 4530  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-1o 6662  df-map 6958  df-topgen 13596  df-qtop 13662  df-top 16888  df-topon 16891  df-cld 17008  df-cn 17215  df-t0 17301  df-t1 17302  df-reg 17304  df-nrm 17305  df-kq 17649  df-hmeo 17710  df-hmph 17711
  Copyright terms: Public domain W3C validator