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Theorem nrmsep 17375
Description: In a normal space, disjoint closed sets are separated by open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
nrmsep  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    x, J, y

Proof of Theorem nrmsep
StepHypRef Expression
1 nrmsep2 17374 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  D )  =  (/) ) )
2 nrmtop 17354 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
32ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
4 elssuni 4003 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
54ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  x  C_  U. J
)
6 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
76clscld 17066 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
83, 5, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
96cldopn 17050 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) )  e.  J
)
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  e.  J )
11 simprrl 741 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  C  C_  x
)
12 incom 3493 . . . . . . 7  |-  ( D  i^i  ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  D )
13 simprrr 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i 
D )  =  (/) )
1412, 13syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( D  i^i  ( ( cls `  J
) `  x )
)  =  (/) )
15 simplr2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  D  e.  (
Clsd `  J )
)
166cldss 17048 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Clsd `  J
)  ->  D  C_  U. J
)
17 reldisj 3631 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  U. J  ->  (
( D  i^i  (
( cls `  J
) `  x )
)  =  (/)  <->  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) ) )
1815, 16, 173syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( D  i^i  ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  (/)  <->  D  C_  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
1914, 18mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) )
206sscls 17075 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  x  C_  (
( cls `  J
) `  x )
)
213, 5, 20syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  x  C_  (
( cls `  J
) `  x )
)
22 ssrin 3526 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( ( cls `  J ) `  x
)  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
24 disjdif 3660 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/)
25 sseq0 3619 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  i^i  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  /\  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )
2623, 24, 25sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )
27 sseq2 3330 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( D  C_  y  <->  D  C_  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) ) ) )
28 ineq2 3496 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( x  i^i  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) ) ) )
2928eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( (
x  i^i  y )  =  (/)  <->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) )
3027, 293anbi23d 1257 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( C  C_  x  /\  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
)  /\  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) ) )
3130rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
)  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  D  C_  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  /\  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
3210, 11, 19, 26, 31syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
3332expr 599 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  x  e.  J )  ->  ( ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i 
D )  =  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
3433reximdva 2778 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
351, 34mpd 15 1  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   ` cfv 5413   Topctop 16913   Clsdccld 17035   clsccl 17037   Nrmcnrm 17328
This theorem is referenced by:  isnrm3  17377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-top 16918  df-cld 17038  df-cls 17040  df-nrm 17335
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