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Theorem nrmsep 17085
Description: In a normal space, disjoint closed sets are separated by open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
nrmsep  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    x, J, y

Proof of Theorem nrmsep
StepHypRef Expression
1 nrmsep2 17084 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  D )  =  (/) ) )
2 nrmtop 17064 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
32ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
4 elssuni 3855 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
54ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  x  C_  U. J
)
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
76clscld 16784 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
83, 5, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
96cldopn 16768 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) )  e.  J
)
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  e.  J )
11 simprrl 740 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  C  C_  x
)
12 incom 3361 . . . . . . 7  |-  ( D  i^i  ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  D )
13 simprrr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i 
D )  =  (/) )
1412, 13syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( D  i^i  ( ( cls `  J
) `  x )
)  =  (/) )
15 simplr2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  D  e.  (
Clsd `  J )
)
166cldss 16766 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Clsd `  J
)  ->  D  C_  U. J
)
17 reldisj 3498 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  U. J  ->  (
( D  i^i  (
( cls `  J
) `  x )
)  =  (/)  <->  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) ) )
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( D  i^i  ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  (/)  <->  D  C_  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
1914, 18mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) )
206sscls 16793 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  x  C_  (
( cls `  J
) `  x )
)
213, 5, 20syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  x  C_  (
( cls `  J
) `  x )
)
22 ssrin 3394 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( ( cls `  J ) `  x
)  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) ) )
24 disjdif 3526 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/)
25 sseq0 3486 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  i^i  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
) )  C_  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  /\  (
( ( cls `  J
) `  x )  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )
2623, 24, 25sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) )
27 sseq2 3200 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( D  C_  y  <->  D  C_  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) ) ) )
28 ineq2 3364 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( x  i^i  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  x
) ) ) )
2928eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( (
x  i^i  y )  =  (/)  <->  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) )
3027, 293anbi23d 1255 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  ->  ( ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( C  C_  x  /\  D  C_  ( U. J  \  (
( cls `  J
) `  x )
)  /\  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) ) )
3130rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
)  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  D  C_  ( U. J  \  ( ( cls `  J
) `  x )
)  /\  ( x  i^i  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  x )
) )  =  (/) ) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
3210, 11, 19, 26, 31syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
3332expr 598 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  /\  x  e.  J )  ->  ( ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `
 x )  i^i 
D )  =  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
3433reximdva 2655 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  ( ( ( cls `  J ) `  x
)  i^i  D )  =  (/) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
351, 34mpd 14 1  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  D  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  D  C_  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755   Nrmcnrm 17038
This theorem is referenced by:  isnrm3  17087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-cls 16758  df-nrm 17045
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