MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgacs Unicode version

Theorem nsgacs 14669
Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
nsgacs  |-  ( G  e.  Grp  ->  (NrmSGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem nsgacs
Dummy variables  s  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgacs.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 14638 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  s  C_  B )
3 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
43elpw 3644 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
52, 4sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  s  e.  ~P B )
6 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  s  ->  (
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z  <->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  s ) )
76raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  s  ->  ( A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z  <->  A. y  e.  s  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  s ) )
87ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  s  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  s ) )
98elrab3 2937 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  -> 
( s  e.  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z }  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  s  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  s ) )
105, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( s  e.  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  z }  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  s 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  s ) )
1110bicomd 192 . . . . 5  |-  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  s  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  s  <->  s  e.  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } ) )
1211pm5.32i 618 . . . 4  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  s  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  s )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  s  e.  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } ) )
13 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
14 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
151, 13, 14isnsg3 14667 . . . 4  |-  ( s  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  s 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  s ) )
16 elin 3371 . . . 4  |-  ( s  e.  ( (SubGrp `  G )  i^i  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } )  <-> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  s  e.  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  z } ) )
1712, 15, 163bitr4i 268 . . 3  |-  ( s  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  s  e.  ( (SubGrp `  G )  i^i  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  z } ) )
1817eqriv 2293 . 2  |-  (NrmSGrp `  G
)  =  ( (SubGrp `  G )  i^i  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } )
19 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
201, 19eqeltri 2366 . . . 4  |-  B  e. 
_V
21 mreacs 13576 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
2220, 21mp1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
231subgacs 14668 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
24 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
251, 13grpcl 14511 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
26253expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )
27 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  B )
281, 14grpsubcl 14562 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  B )
2924, 26, 27, 28syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  B )
3029ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  B
)
31 acsfn1c 13580 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  B )  ->  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z }  e.  (ACS `  B ) )
3220, 30, 31sylancr 644 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z }  e.  (ACS `  B ) )
33 mreincl 13517 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubGrp `  G
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z }  e.  (ACS `  B ) )  ->  ( (SubGrp `  G )  i^i  {
z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  z } )  e.  (ACS `  B
) )
3422, 23, 32, 33syl3anc 1182 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(SubGrp `  G )  i^i  { z  e.  ~P B  |  A. x  e.  B  A. y  e.  z  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  z } )  e.  (ACS
`  B ) )
3518, 34syl5eqel 2380 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  (NrmSGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Moorecmre 13500  ACScacs 13503   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381  SubGrpcsubg 14631  NrmSGrpcnsg 14632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-nsg 14635
  Copyright terms: Public domain W3C validator