Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgacs Structured version   Unicode version

Theorem nsgacs 14978
 Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b
Assertion
Ref Expression
nsgacs NrmSGrp ACS

Proof of Theorem nsgacs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgacs.b . . . . . . . . 9
21subgss 14947 . . . . . . . 8 SubGrp
3 vex 2961 . . . . . . . . 9
43elpw 3807 . . . . . . . 8
52, 4sylibr 205 . . . . . . 7 SubGrp
6 eleq2 2499 . . . . . . . . . 10
76raleqbi1dv 2914 . . . . . . . . 9
87ralbidv 2727 . . . . . . . 8
98elrab3 3095 . . . . . . 7
105, 9syl 16 . . . . . 6 SubGrp
1110bicomd 194 . . . . 5 SubGrp
1211pm5.32i 620 . . . 4 SubGrp SubGrp
13 eqid 2438 . . . . 5
14 eqid 2438 . . . . 5
151, 13, 14isnsg3 14976 . . . 4 NrmSGrp SubGrp
16 elin 3532 . . . 4 SubGrp SubGrp
1712, 15, 163bitr4i 270 . . 3 NrmSGrp SubGrp
1817eqriv 2435 . 2 NrmSGrp SubGrp
19 fvex 5744 . . . . 5
201, 19eqeltri 2508 . . . 4
21 mreacs 13885 . . . 4 ACS Moore
2220, 21mp1i 12 . . 3 ACS Moore
231subgacs 14977 . . 3 SubGrp ACS
24 simpl 445 . . . . . 6
251, 13grpcl 14820 . . . . . . 7
26253expb 1155 . . . . . 6
27 simprl 734 . . . . . 6
281, 14grpsubcl 14871 . . . . . 6
2924, 26, 27, 28syl3anc 1185 . . . . 5
3029ralrimivva 2800 . . . 4
31 acsfn1c 13889 . . . 4 ACS
3220, 30, 31sylancr 646 . . 3 ACS
33 mreincl 13826 . . 3 ACS Moore SubGrp ACS ACS SubGrp ACS
3422, 23, 32, 33syl3anc 1185 . 2 SubGrp ACS
3518, 34syl5eqel 2522 1 NrmSGrp ACS
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  Moorecmre 13809  ACScacs 13812  cgrp 14687  csg 14690  SubGrpcsubg 14940  NrmSGrpcnsg 14941 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-nsg 14944
 Copyright terms: Public domain W3C validator