Theorem nsuceq0 3059

Description: No successor is empty.

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0	|- suc A =/= (/)

Proof of Theorem nsuceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 2287	. . . 4 |- -. A e. (/)
2		eleq2 1538	. . . . 5 |- (suc A = (/) -> (A e. suc A <-> A e. (/)))
3		sucidg 3058	. . . . 5 |- (A e. V -> A e. suc A)
4	2, 3	syl5cbi 209	. . . 4 |- (A e. V -> (suc A = (/) -> A e. (/)))
5	1, 4	mtoi 107	. . 3 |- (A e. V -> -. suc A = (/))
6		sucprc 3050	. . . . . . 7 |- (-. A e. V -> suc A = A)
7	6	eqeq1d 1486	. . . . . 6 |- (-. A e. V -> (suc A = (/) <-> A = (/)))
8		0ex 2716	. . . . . . 7 |- (/) e. V
9		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- (A = (/) -> (A e. V <-> (/) e. V))
10	8, 9	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (A = (/) -> A e. V)
11	7, 10	syl6bi 214	. . . . 5 |- (-. A e. V -> (suc A = (/) -> A e. V))
12	11	con3d 95	. . . 4 |- (-. A e. V -> (-. A e. V -> -. suc A = (/)))
13	12	pm2.43i 64	. . 3 |- (-. A e. V -> -. suc A = (/))
14	5, 13	pm2.61i 126	. 2 |- -. suc A = (/)
15		df-ne 1590	. 2 |- (suc A =/= (/) <-> -. suc A = (/))
16	14, 15	mpbir 190	1 |- suc A =/= (/)

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  Vcvv 1814  (/)c0 2283  suc csuc 2956

This theorem is referenced by:  0elsuc 3098  peano3 3157  tz7.44-2 3935  oelim2 4228  limenpsi 4511  cfsuc 4927  top2usne 10535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-nul 2715

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-nul 2284  df-sn 2416  df-pr 2417  df-suc 2960

Copyright terms: Public domain