MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Structured version   Unicode version

Theorem nthruc 12852
Description: The sequence  NN,  ZZ,  QQ,  RR, and  CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to  ZZ but not  NN, one-half belongs to  QQ but not  ZZ, the square root of 2 belongs to  RR but not  QQ, and finally that the imaginary number  _i belongs to  CC but not  RR. See nthruz 12853 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 10303 . . . 4  |-  NN  C_  ZZ
2 0z 10295 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
3 0nnn 10033 . . . . 5  |-  -.  0  e.  NN
42, 3pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )
5 ssnelpss 3693 . . . 4  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
0  e.  ZZ  /\  -.  0  e.  NN )  ->  NN  C.  ZZ ) )
61, 4, 5mp2 9 . . 3  |-  NN  C.  ZZ
7 zssq 10583 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
8 1z 10313 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 2nn 10135 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 znq 10580 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( 1  /  2
)  e.  QQ )
118, 9, 10mp2an 655 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  QQ
12 halfnz 10350 . . . . 5  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
1311, 12pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )
14 ssnelpss 3693 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  QQ  ->  ( (
( 1  /  2
)  e.  QQ  /\  -.  ( 1  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ZZ  C.  QQ ) )
157, 13, 14mp2 9 . . 3  |-  ZZ  C.  QQ
166, 15pm3.2i 443 . 2  |-  ( NN 
C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )
17 qssre 10586 . . . 4  |-  QQ  C_  RR
18 sqr2re 12851 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
19 sqr2irr 12850 . . . . . 6  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
2019neli 2699 . . . . 5  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
2118, 20pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
22 ssnelpss 3693 . . . 4  |-  ( QQ  C_  RR  ->  ( (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  -.  ( sqr `  2
)  e.  QQ )  ->  QQ  C.  RR ) )
2317, 21, 22mp2 9 . . 3  |-  QQ  C.  RR
24 ax-resscn 9049 . . . 4  |-  RR  C_  CC
25 ax-icn 9051 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
26 inelr 9992 . . . . 5  |-  -.  _i  e.  RR
2725, 26pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( _i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )
28 ssnelpss 3693 . . . 4  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
_i  e.  CC  /\  -.  _i  e.  RR )  ->  RR  C.  CC ) )
2924, 27, 28mp2 9 . . 3  |-  RR  C.  CC
3023, 29pm3.2i 443 . 2  |-  ( QQ 
C.  RR  /\  RR  C.  CC )
3116, 30pm3.2i 443 1  |-  ( ( NN  C.  ZZ  /\  ZZ  C.  QQ )  /\  ( QQ  C.  RR  /\  RR  C.  CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 360    e. wcel 1726    C_ wss 3322    C. wpss 3323   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993   _ici 8994    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   ZZcz 10284   QQcq 10576   sqrcsqr 12040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043
  Copyright terms: Public domain W3C validator