Theorem nthruc 6676

Description: The sequence NN, ZZ, QQ, RR, and CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ZZ but not NN, one-half belongs to QQ but not ZZ, the square root of 2 belongs to RR but not QQ, and finally that the imaginary number i belongs to CC but not RR. See nthruz 6677 for a further refinement.

Assertion

Ref	Expression
nthruc	|- ((NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ) /\ (QQ (. RR /\ RR (. CC))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 6098	. . . 4 |- NN (_ ZZ
2		0z 6093	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
3		0nnn 5896	. . . . 5 |- -. 0 e. NN
4	2, 3	pm3.2i 285	. . . 4 |- (0 e. ZZ /\ -. 0 e. NN)
5		ssnelpss 2320	. . . 4 |- (NN (_ ZZ -> ((0 e. ZZ /\ -. 0 e. NN) -> NN (. ZZ))
6	1, 4, 5	mp2 43	. . 3 |- NN (. ZZ
7		zssq 6199	. . . 4 |- ZZ (_ QQ
8		1z 6106	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
9		2nn 5946	. . . . . 6 |- 2 e. NN
10		znq 6196	. . . . . 6 |- ((1 e. ZZ /\ 2 e. NN) -> (1 / 2) e. QQ)
11	8, 9, 10	mp2an 695	. . . . 5 |- (1 / 2) e. QQ
12		halfnz 6141	. . . . 5 |- -. (1 / 2) e. ZZ
13	11, 12	pm3.2i 285	. . . 4 |- ((1 / 2) e. QQ /\ -. (1 / 2) e. ZZ)
14		ssnelpss 2320	. . . 4 |- (ZZ (_ QQ -> (((1 / 2) e. QQ /\ -. (1 / 2) e. ZZ) -> ZZ (. QQ))
15	7, 13, 14	mp2 43	. . 3 |- ZZ (. QQ
16	6, 15	pm3.2i 285	. 2 |- (NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ)
17		qssre 6202	. . . 4 |- QQ (_ RR
18		sqr2re 6660	. . . . 5 |- (sqr` 2) e. RR
19		sqr2irr 6659	. . . . . 6 |- (sqr` 2) e/ QQ
20		df-nel 1580	. . . . . 6 |- ((sqr` 2) e/ QQ <-> -. (sqr` 2) e. QQ)
21	19, 20	mpbi 189	. . . . 5 |- -. (sqr` 2) e. QQ
22	18, 21	pm3.2i 285	. . . 4 |- ((sqr` 2) e. RR /\ -. (sqr` 2) e. QQ)
23		ssnelpss 2320	. . . 4 |- (QQ (_ RR -> (((sqr` 2) e. RR /\ -. (sqr` 2) e. QQ) -> QQ (. RR))
24	17, 22, 23	mp2 43	. . 3 |- QQ (. RR
25		axresscn 5240	. . . 4 |- RR (_ CC
26		axicn 5242	. . . . 5 |- i e. CC
27		inelr 6665	. . . . 5 |- -. i e. RR
28	26, 27	pm3.2i 285	. . . 4 |- (i e. CC /\ -. i e. RR)
29		ssnelpss 2320	. . . 4 |- (RR (_ CC -> ((i e. CC /\ -. i e. RR) -> RR (. CC))
30	25, 28, 29	mp2 43	. . 3 |- RR (. CC
31	24, 30	pm3.2i 285	. 2 |- (QQ (. RR /\ RR (. CC)
32	16, 31	pm3.2i 285	1 |- ((NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ) /\ (QQ (. RR /\ RR (. CC))

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   e. wcel 955   e/ wnel 1578   (_ wss 2037   (. wpss 2038  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   / cdiv 5266  NNcn 5268  ZZcz 5270  QQcq 5271  2c2 5908  sqrcsqr 6599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-q 6194  df-seq1 6245  df-uz 6350  df-exp 6501  df-sqr 6600

Copyright terms: Public domain