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Theorem ntreq0 16814
Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntreq0  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( int `  J ) `  S
)  =  (/)  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, S    x, X

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21ntrval 16773 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
32eqeq1d 2291 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( int `  J ) `  S
)  =  (/)  <->  U. ( J  i^i  ~P S )  =  (/) ) )
4 neq0 3465 . . . . 5  |-  ( -. 
U. ( J  i^i  ~P S )  =  (/)  <->  E. y  y  e.  U. ( J  i^i  ~P S ) )
54con1bii 321 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  y  e. 
U. ( J  i^i  ~P S )  <->  U. ( J  i^i  ~P S )  =  (/) )
6 ancom 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) )  <-> 
( x  e.  ( J  i^i  ~P S
)  /\  y  e.  x ) )
7 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ~P S )  <->  ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P S ) )
87anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ~P S )  /\  y  e.  x
)  <->  ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P S )  /\  y  e.  x )
)
9 anass 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P S )  /\  y  e.  x )  <->  ( x  e.  J  /\  (
x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
106, 8, 93bitri 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) )  <-> 
( x  e.  J  /\  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
1110exbii 1569 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) )  <->  E. x
( x  e.  J  /\  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
12 eluni 3830 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( J  i^i  ~P S )  <->  E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) ) )
13 df-rex 2549 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
)  <->  E. x ( x  e.  J  /\  (
x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
1411, 12, 133bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( J  i^i  ~P S )  <->  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) )
1514exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. y  y  e.  U. ( J  i^i  ~P S
)  <->  E. y E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x ) )
16 rexcom4 2807 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  J  E. y ( x  e. 
~P S  /\  y  e.  x )  <->  E. y E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) )
17 19.42v 1846 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x  e. 
~P S  /\  y  e.  x )  <->  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
1817rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  J  E. y ( x  e. 
~P S  /\  y  e.  x )  <->  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
1915, 16, 183bitr2i 264 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  U. ( J  i^i  ~P S
)  <->  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x ) )
2019notbii 287 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  y  e. 
U. ( J  i^i  ~P S )  <->  -.  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
215, 20bitr3i 242 . . 3  |-  ( U. ( J  i^i  ~P S
)  =  (/)  <->  -.  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
22 ralinexa 2588 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  (
x  e.  ~P S  ->  -.  E. y  y  e.  x )  <->  -.  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
23 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2423elpw 3631 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P S  <->  x  C_  S
)
25 neq0 3465 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  (/)  <->  E. y 
y  e.  x )
2625con1bii 321 . . . . 5  |-  ( -. 
E. y  y  e.  x  <->  x  =  (/) )
2724, 26imbi12i 316 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P S  ->  -.  E. y  y  e.  x )  <->  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) )
2827ralbii 2567 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  (
x  e.  ~P S  ->  -.  E. y  y  e.  x )  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) )
2921, 22, 283bitr2i 264 . 2  |-  ( U. ( J  i^i  ~P S
)  =  (/)  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) )
303, 29syl6bb 252 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( int `  J ) `  S
)  =  (/)  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   intcnt 16754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-ntr 16757
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