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Theorem ntreq0 17143
Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntreq0  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( int `  J ) `  S
)  =  (/)  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, S    x, X

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21ntrval 17102 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
32eqeq1d 2446 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( int `  J ) `  S
)  =  (/)  <->  U. ( J  i^i  ~P S )  =  (/) ) )
4 neq0 3640 . . . . 5  |-  ( -. 
U. ( J  i^i  ~P S )  =  (/)  <->  E. y  y  e.  U. ( J  i^i  ~P S ) )
54con1bii 323 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  y  e. 
U. ( J  i^i  ~P S )  <->  U. ( J  i^i  ~P S )  =  (/) )
6 ancom 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) )  <-> 
( x  e.  ( J  i^i  ~P S
)  /\  y  e.  x ) )
7 elin 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ~P S )  <->  ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P S ) )
87anbi1i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ~P S )  /\  y  e.  x
)  <->  ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P S )  /\  y  e.  x )
)
9 anass 632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P S )  /\  y  e.  x )  <->  ( x  e.  J  /\  (
x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
106, 8, 93bitri 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) )  <-> 
( x  e.  J  /\  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
1110exbii 1593 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) )  <->  E. x
( x  e.  J  /\  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
12 eluni 4020 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( J  i^i  ~P S )  <->  E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P S ) ) )
13 df-rex 2713 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
)  <->  E. x ( x  e.  J  /\  (
x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) ) )
1411, 12, 133bitr4i 270 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( J  i^i  ~P S )  <->  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) )
1514exbii 1593 . . . . . 6  |-  ( E. y  y  e.  U. ( J  i^i  ~P S
)  <->  E. y E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x ) )
16 rexcom4 2977 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  J  E. y ( x  e. 
~P S  /\  y  e.  x )  <->  E. y E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  y  e.  x
) )
17 19.42v 1929 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x  e. 
~P S  /\  y  e.  x )  <->  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
1817rexbii 2732 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  J  E. y ( x  e. 
~P S  /\  y  e.  x )  <->  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
1915, 16, 183bitr2i 266 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  U. ( J  i^i  ~P S
)  <->  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x ) )
2019notbii 289 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  y  e. 
U. ( J  i^i  ~P S )  <->  -.  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
215, 20bitr3i 244 . . 3  |-  ( U. ( J  i^i  ~P S
)  =  (/)  <->  -.  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
22 ralinexa 2752 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  (
x  e.  ~P S  ->  -.  E. y  y  e.  x )  <->  -.  E. x  e.  J  ( x  e.  ~P S  /\  E. y  y  e.  x
) )
23 vex 2961 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2423elpw 3807 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P S  <->  x  C_  S
)
25 neq0 3640 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  (/)  <->  E. y 
y  e.  x )
2625con1bii 323 . . . . 5  |-  ( -. 
E. y  y  e.  x  <->  x  =  (/) )
2724, 26imbi12i 318 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P S  ->  -.  E. y  y  e.  x )  <->  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) )
2827ralbii 2731 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  (
x  e.  ~P S  ->  -.  E. y  y  e.  x )  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) )
2921, 22, 283bitr2i 266 . 2  |-  ( U. ( J  i^i  ~P S
)  =  (/)  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) )
303, 29syl6bb 254 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( int `  J ) `  S
)  =  (/)  <->  A. x  e.  J  ( x  C_  S  ->  x  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   ` cfv 5456   Topctop 16960   intcnt 17083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-top 16965  df-ntr 17086
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