Theorem ntrfval 7664

Description: The interior function on the subsets of a topology's base set.

Hypothesis

Ref	Expression
cldval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
ntrfval	|- (J e. Top -> (int` J) = {<.x, y>. | (x (_ X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})})

Distinct variable groups:   x,v,y,J   x,X,y

Proof of Theorem ntrfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 2877	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. V)
2		cldval.1	. . . . 5 |- X = U.J
3	1, 2	syl5eqel 1555	. . . 4 |- (J e. Top -> X e. V)
4		pwexg 2752	. . . 4 |- (X e. V -> P~X e. V)
5		opabex2g 3617	. . . 4 |- (P~X e. V -> {<.x, y>. | (x e. P~X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})} e. V)
6	3, 4, 5	3syl 20	. . 3 |- (J e. Top -> {<.x, y>. | (x e. P~X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})} e. V)
7		visset 1816	. . . . . 6 |- x e. V
8	7	elpw 2408	. . . . 5 |- (x e. P~X <-> x (_ X)
9	8	anbi1i 483	. . . 4 |- ((x e. P~X /\ y = U.{v e. J | v (_ x}) <-> (x (_ X /\ y = U.{v e. J | v (_ x}))
10	9	opabbii 2676	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. P~X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})} = {<.x, y>. | (x (_ X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})}
11	6, 10	syl5eqelr 1556	. 2 |- (J e. Top -> {<.x, y>. | (x (_ X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})} e. V)
12		unieq 2514	. . . . . . 7 |- (z = J -> U.z = U.J)
13	12, 2	syl6eqr 1528	. . . . . 6 |- (z = J -> U.z = X)
14	13	sseq2d 2092	. . . . 5 |- (z = J -> (x (_ U.z <-> x (_ X))
15		rabeq 1812	. . . . . . 7 |- (z = J -> {v e. z | v (_ x} = {v e. J | v (_ x})
16	15	unieqd 2516	. . . . . 6 |- (z = J -> U.{v e. z | v (_ x} = U.{v e. J | v (_ x})
17	16	eqeq2d 1489	. . . . 5 |- (z = J -> (y = U.{v e. z | v (_ x} <-> y = U.{v e. J | v (_ x}))
18	14, 17	anbi12d 630	. . . 4 |- (z = J -> ((x (_ U.z /\ y = U.{v e. z | v (_ x}) <-> (x (_ X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})))
19	18	opabbidv 2675	. . 3 |- (z = J -> {<.x, y>. | (x (_ U.z /\ y = U.{v e. z | v (_ x})} = {<.x, y>. | (x (_ X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})})
20		df-ntr 7661	. . 3 |- int = {<.z, w>. | (z e. Top /\ w = {<.x, y>. | (x (_ U.z /\ y = U.{v e. z | v (_ x})})}
21	19, 20	fvopab4g 3785	. 2 |- ((J e. Top /\ {<.x, y>. | (x (_ X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})} e. V) -> (int` J) = {<.x, y>. | (x (_ X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})})
22	11, 21	mpdan 706	1 |- (J e. Top -> (int` J) = {<.x, y>. | (x (_ X /\ y = U.{v e. J | v (_ x})})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651  Vcvv 1814   (_ wss 2050  P~cpw 2405  U.cuni 2507  {copab 2671  ` cfv 3188  Topctop 7590  intcnt 7658

This theorem is referenced by:  ntrval 7673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-ntr 7661

Copyright terms: Public domain