MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntropn Structured version   Unicode version

Theorem ntropn 17115
Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntropn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  e.  J )

Proof of Theorem ntropn
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21ntrval 17102 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
3 inss1 3563 . . . 4  |-  ( J  i^i  ~P S ) 
C_  J
4 uniopn 16972 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ~P S
)  C_  J )  ->  U. ( J  i^i  ~P S )  e.  J
)
53, 4mpan2 654 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  U. ( J  i^i  ~P S )  e.  J )
65adantr 453 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  U. ( J  i^i  ~P S )  e.  J
)
72, 6eqeltrd 2512 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   ` cfv 5456   Topctop 16960   intcnt 17083
This theorem is referenced by:  ntrval2  17117  ntrss3  17126  ntrin  17127  cmclsopn  17128  isopn3  17132  ntridm  17134  neiint  17170  topssnei  17190  maxlp  17213  restntr  17248  iscnp4  17329  cnntri  17337  cnprest  17355  llycmpkgen2  17584  xkococnlem  17693  flimopn  18009  fclsneii  18051  fcfnei  18069  subgntr  18138  iccntr  18854  rectbntr0  18865  bcthlem5  19283  bcth3  19286  limcflf  19770  perfdvf  19792  ubthlem1  22374  cvmlift2lem12  25003  opnregcld  26335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-top 16965  df-ntr 17086
  Copyright terms: Public domain W3C validator