Theorem ntropn 7681

Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
ntropn	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((int` J)` S) e. J)

Proof of Theorem ntropn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U.J
2	1	ntrval 7673	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((int` J)` S) = U.{x e. J | x (_ S})
3		ssrab2 2134	. . . 4 |- {x e. J | x (_ S} (_ J
4		uniopnt 7599	. . . 4 |- ((J e. Top /\ {x e. J | x (_ S} (_ J) -> U.{x e. J | x (_ S} e. J)
5	3, 4	mpan2 698	. . 3 |- (J e. Top -> U.{x e. J | x (_ S} e. J)
6	5	adantr 391	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> U.{x e. J | x (_ S} e. J)
7	2, 6	eqeltrd 1551	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((int` J)` S) e. J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651   (_ wss 2050  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  intcnt 7658

This theorem is referenced by:  ntrval2 7683  ntrss3 7689  cmclsopn 7690  isopn3 7694  ntridm 7696  ubthlem6 8530

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-top 7594  df-ntr 7661

Copyright terms: Public domain