MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss2 Structured version   Unicode version

Theorem ntrss2 17122
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntrss2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21ntrval 17101 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
3 inss2 3563 . . . 4  |-  ( J  i^i  ~P S ) 
C_  ~P S
43unissi 4039 . . 3  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  U. ~P S
5 unipw 4415 . . 3  |-  U. ~P S  =  S
64, 5sseqtri 3381 . 2  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  S
72, 6syl6eqss 3399 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3320    C_ wss 3321   ~Pcpw 3800   U.cuni 4016   ` cfv 5455   Topctop 16959   intcnt 17082
This theorem is referenced by:  ntrin  17126  neiint  17169  opnnei  17185  topssnei  17189  maxlp  17212  restntr  17247  iscnp4  17328  cnntri  17336  cnntr  17340  cnprest  17354  llycmpkgen2  17583  xkococnlem  17692  flimopn  18008  fclsneii  18050  fcfnei  18068  subgntr  18137  iccntr  18853  rectbntr0  18864  bcthlem5  19282  limcflf  19769  dvbss  19789  perfdvf  19791  dvreslem  19797  dvcnp2  19807  dvnres  19818  dvaddbr  19825  dvcmulf  19832  dvmptres2  19849  dvmptcmul  19851  dvmptntr  19858  dvcnvre  19904  taylthlem1  20290  taylthlem2  20291  ulmdvlem3  20319  ubthlem1  22373  lgamucov2  24824  kur14lem6  24898  cvmlift2lem12  25002  opnbnd  26329  opnregcld  26334  cldregopn  26335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-top 16964  df-ntr 17085
  Copyright terms: Public domain W3C validator