MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss2 Unicode version

Theorem ntrss2 16794
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntrss2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21ntrval 16773 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  =  U. ( J  i^i  ~P S ) )
3 inss2 3390 . . . . 5  |-  ( J  i^i  ~P S ) 
C_  ~P S
4 uniss 3848 . . . . 5  |-  ( ( J  i^i  ~P S
)  C_  ~P S  ->  U. ( J  i^i  ~P S )  C_  U. ~P S )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  U. ~P S
6 unipw 4224 . . . 4  |-  U. ~P S  =  S
75, 6sseqtri 3210 . . 3  |-  U. ( J  i^i  ~P S ) 
C_  S
87a1i 10 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  U. ( J  i^i  ~P S )  C_  S
)
92, 8eqsstrd 3212 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  S )  C_  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   intcnt 16754
This theorem is referenced by:  ntrin  16798  neiint  16841  opnnei  16857  topssnei  16861  maxlp  16878  restntr  16912  cnntri  17000  cnntr  17004  cnprest  17017  llycmpkgen2  17245  xkococnlem  17353  flimopn  17670  fclsneii  17712  fcfnei  17730  subgntr  17789  iccntr  18326  rectbntr0  18337  bcthlem5  18750  limcflf  19231  dvbss  19251  perfdvf  19253  dvreslem  19259  dvcnp2  19269  dvnres  19280  dvaddbr  19287  dvcmulf  19294  dvmptres2  19311  dvmptcmul  19313  dvmptntr  19320  dvcnvre  19366  taylthlem1  19752  taylthlem2  19753  ulmdvlem3  19779  ubthlem1  21449  kur14lem6  23742  cvmlift2lem12  23845  iscnp4  25563  opnbnd  26243  opnregcld  26248  cldregopn  26249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-ntr 16757
  Copyright terms: Public domain W3C validator