Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntruni Unicode version

Theorem ntruni 26245
Description: A union of interiors is a subset of the interior of the union. The reverse inclusion may not hold. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ntruni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntruni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  U_ o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
Distinct variable groups:    o, J    o, O    o, X

Proof of Theorem ntruni
StepHypRef Expression
1 elssuni 3855 . . . 4  |-  ( o  e.  O  ->  o  C_ 
U. O )
2 sspwuni 3987 . . . . 5  |-  ( O 
C_  ~P X  <->  U. O  C_  X )
3 ntruni.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
43ntrss 16792 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. O  C_  X  /\  o  C_  U. O )  ->  ( ( int `  J ) `  o
)  C_  ( ( int `  J ) `  U. O ) )
543expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. O  C_  X )  ->  ( o  C_  U. O  ->  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) ) )
62, 5sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  ( o  C_  U. O  ->  ( ( int `  J ) `  o )  C_  (
( int `  J
) `  U. O ) ) )
71, 6syl5 28 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  ( o  e.  O  ->  ( ( int `  J ) `  o )  C_  (
( int `  J
) `  U. O ) ) )
87ralrimiv 2625 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  A. o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
9 iunss 3943 . 2  |-  ( U_ o  e.  O  (
( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O )  <->  A. o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
108, 9sylibr 203 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  U_ o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905   ` cfv 5255   Topctop 16631   intcnt 16754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator