Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntruni Structured version   Unicode version

Theorem ntruni 26330
Description: A union of interiors is a subset of the interior of the union. The reverse inclusion may not hold. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ntruni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ntruni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  U_ o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
Distinct variable groups:    o, J    o, O    o, X

Proof of Theorem ntruni
StepHypRef Expression
1 elssuni 4043 . . . 4  |-  ( o  e.  O  ->  o  C_ 
U. O )
2 sspwuni 4176 . . . . 5  |-  ( O 
C_  ~P X  <->  U. O  C_  X )
3 ntruni.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
43ntrss 17119 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. O  C_  X  /\  o  C_  U. O )  ->  ( ( int `  J ) `  o
)  C_  ( ( int `  J ) `  U. O ) )
543expia 1155 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. O  C_  X )  ->  ( o  C_  U. O  ->  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) ) )
62, 5sylan2b 462 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  ( o  C_  U. O  ->  ( ( int `  J ) `  o )  C_  (
( int `  J
) `  U. O ) ) )
71, 6syl5 30 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  ( o  e.  O  ->  ( ( int `  J ) `  o )  C_  (
( int `  J
) `  U. O ) ) )
87ralrimiv 2788 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  A. o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
9 iunss 4132 . 2  |-  ( U_ o  e.  O  (
( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O )  <->  A. o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
108, 9sylibr 204 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  O  C_  ~P X )  ->  U_ o  e.  O  ( ( int `  J
) `  o )  C_  ( ( int `  J
) `  U. O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   U_ciun 4093   ` cfv 5454   Topctop 16958   intcnt 17081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-top 16963  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085
  Copyright terms: Public domain W3C validator