Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrval Structured version   Unicode version

Theorem ntrval 17102
 Description: The interior of a subset of a topology's base set is the union of all the open sets it includes. Definition of interior of [Munkres] p. 94. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1
Assertion
Ref Expression
ntrval

Proof of Theorem ntrval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscld.1 . . . . 5
21ntrfval 17090 . . . 4
32fveq1d 5732 . . 3
51topopn 16981 . . . . 5
6 elpw2g 4365 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
87biimpar 473 . . 3
9 inex1g 4348 . . . . 5
109adantr 453 . . . 4
11 uniexg 4708 . . . 4
1210, 11syl 16 . . 3
13 pweq 3804 . . . . . 6
1413ineq2d 3544 . . . . 5
1514unieqd 4028 . . . 4
16 eqid 2438 . . . 4
1715, 16fvmptg 5806 . . 3
188, 12, 17syl2anc 644 . 2
194, 18eqtrd 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  cuni 4017   cmpt 4268  cfv 5456  ctop 16960  cnt 17083 This theorem is referenced by:  ntropn  17115  clsval2  17116  ntrss2  17123  ssntr  17124  isopn3  17132  ntreq0  17143 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-top 16965  df-ntr 17086
 Copyright terms: Public domain W3C validator