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Theorem numacn 7676
Description: A well-orderable set has choice sequences of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numacn  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem numacn
Dummy variables  f 
g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  X  e.  dom  card )
3 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  f : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
43adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
f : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
5 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A --> ( ~P X  \  { (/) } )  ->  ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/)
} ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/) } ) )
7 difss 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P X  \  { (/) } )  C_  ~P X
86, 7syl6ss 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  ran  f  C_  ~P X
)
9 sspwuni 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  C_  ~P X  <->  U.
ran  f  C_  X
)
108, 9sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  U. ran  f  C_  X
)
11 ssnum 7666 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\ 
U. ran  f  C_  X )  ->  U. ran  f  e.  dom  card )
122, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  U. ran  f  e.  dom  card )
13 ssdifin0 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/) } )  ->  ( ran  f  i^i  { (/) } )  =  (/) )
146, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( ran  f  i^i  {
(/) } )  =  (/) )
15 disjsn 3693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  i^i  { (/)
} )  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  ran  f )
1614, 15sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  -.  (/)  e.  ran  f
)
17 ac5num 7663 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  f  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  ran  f )  ->  E. h
( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )
1812, 16, 17syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h ( h : ran  f --> U. ran  f  /\  A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y ) )
19 simpllr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  A  e.  _V )
20 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A --> ( ~P X  \  { (/) } )  ->  f  Fn  A )
214, 20syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
f  Fn  A )
22 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
h `  y )  =  ( h `  ( f `  x
) ) )
23 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  y  =  ( f `  x ) )
2422, 23eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
( h `  y
)  e.  y  <->  ( h `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) )
2524ralrn 5668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. y  e.  ran  f ( h `  y )  e.  y  <->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) ) )
2621, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y  <->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) ) )
2726biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) )
2827adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  A. x  e.  A  ( h `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) )
29 acnlem 7675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( h `  ( f `
 x ) )  e.  ( f `  x ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) )
3019, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
3130ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( ( h : ran  f --> U. ran  f  /\  A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
3231exlimdv 1664 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( E. h ( h : ran  f --> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f ( h `  y )  e.  y )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
3318, 32mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) )
3433ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
35 isacn 7671 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
3634, 35mpbird 223 . . 3  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  X  e. AC  A )
3736expcom 424 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )
381, 37syl 15 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   cardccrd 7568  AC wacn 7571
This theorem is referenced by:  acnnum  7679  fodomnum  7684  acacni  7766  dfac13  7768  iundom  8164  iunctb  8196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-card 7572  df-acn 7575
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