Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numacn Structured version   Unicode version

Theorem numacn 7935
 Description: A well-orderable set has choice sequences of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numacn AC

Proof of Theorem numacn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . 2
2 simpll 732 . . . . . . . 8
3 elmapi 7041 . . . . . . . . . . . 12
43adantl 454 . . . . . . . . . . 11
5 frn 5600 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
76difss2d 3479 . . . . . . . . 9
8 sspwuni 4179 . . . . . . . . 9
97, 8sylib 190 . . . . . . . 8
10 ssnum 7925 . . . . . . . 8
112, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . 7
12 ssdifin0 3711 . . . . . . . . 9
136, 12syl 16 . . . . . . . 8
14 disjsn 3870 . . . . . . . 8
1513, 14sylib 190 . . . . . . 7
16 ac5num 7922 . . . . . . 7
1711, 15, 16syl2anc 644 . . . . . 6
18 simpllr 737 . . . . . . 7
19 ffn 5594 . . . . . . . . . . 11
204, 19syl 16 . . . . . . . . . 10
21 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12
22 id 21 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22eleq12d 2506 . . . . . . . . . . 11
2423ralrn 5876 . . . . . . . . . 10
2520, 24syl 16 . . . . . . . . 9
2625biimpa 472 . . . . . . . 8
2726adantrl 698 . . . . . . 7
28 acnlem 7934 . . . . . . 7
2918, 27, 28syl2anc 644 . . . . . 6
3017, 29exlimddv 1649 . . . . 5
3130ralrimiva 2791 . . . 4
32 isacn 7930 . . . 4 AC
3331, 32mpbird 225 . . 3 AC
3433expcom 426 . 2 AC
351, 34syl 16 1 AC
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cdif 3319   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  csn 3816  cuni 4017   cdm 4881   crn 4882   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmap 7021  ccrd 7827  AC wacn 7830 This theorem is referenced by:  acnnum  7938  fodomnum  7943  acacni  8025  dfac13  8027  iundom  8422  iunctb  8454 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-card 7831  df-acn 7834
 Copyright terms: Public domain W3C validator