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Theorem numacn 7692
Description: A well-orderable set has choice sequences of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numacn  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem numacn
Dummy variables  f 
g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  X  e.  dom  card )
3 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  f : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
43adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
f : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
5 frn 5411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A --> ( ~P X  \  { (/) } )  ->  ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/)
} ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/) } ) )
7 difss 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P X  \  { (/) } )  C_  ~P X
86, 7syl6ss 3204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  ran  f  C_  ~P X
)
9 sspwuni 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  C_  ~P X  <->  U.
ran  f  C_  X
)
108, 9sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  U. ran  f  C_  X
)
11 ssnum 7682 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\ 
U. ran  f  C_  X )  ->  U. ran  f  e.  dom  card )
122, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  U. ran  f  e.  dom  card )
13 ssdifin0 3548 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  C_  ( ~P X  \  { (/) } )  ->  ( ran  f  i^i  { (/) } )  =  (/) )
146, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( ran  f  i^i  {
(/) } )  =  (/) )
15 disjsn 3706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  i^i  { (/)
} )  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  ran  f )
1614, 15sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  -.  (/)  e.  ran  f
)
17 ac5num 7679 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  f  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  ran  f )  ->  E. h
( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )
1812, 16, 17syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h ( h : ran  f --> U. ran  f  /\  A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y ) )
19 simpllr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  A  e.  _V )
20 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A --> ( ~P X  \  { (/) } )  ->  f  Fn  A )
214, 20syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
f  Fn  A )
22 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
h `  y )  =  ( h `  ( f `  x
) ) )
23 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  y  =  ( f `  x ) )
2422, 23eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
( h `  y
)  e.  y  <->  ( h `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) )
2524ralrn 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. y  e.  ran  f ( h `  y )  e.  y  <->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) ) )
2621, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y  <->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) ) )
2726biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( h `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) )
2827adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  A. x  e.  A  ( h `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) )
29 acnlem 7691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( h `  ( f `
 x ) )  e.  ( f `  x ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) )
3019, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( h : ran  f
--> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f
( h `  y
)  e.  y ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
3130ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( ( h : ran  f --> U. ran  f  /\  A. y  e. 
ran  f ( h `
 y )  e.  y )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
3231exlimdv 1626 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
( E. h ( h : ran  f --> U. ran  f  /\  A. y  e.  ran  f ( h `  y )  e.  y )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
3318, 32mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  /\  f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) )
3433ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
35 isacn 7687 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
3634, 35mpbird 223 . . 3  |-  ( ( X  e.  dom  card  /\  A  e.  _V )  ->  X  e. AC  A )
3736expcom 424 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )
381, 37syl 15 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  dom  card  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   cardccrd 7584  AC wacn 7587
This theorem is referenced by:  acnnum  7695  fodomnum  7700  acacni  7782  dfac13  7784  iundom  8180  iunctb  8212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-card 7588  df-acn 7591
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