MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numaddc Structured version   Unicode version

Theorem numaddc 10419
Description: Add two decimal integers  M and  N (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1  |-  T  e. 
NN0
numma.2  |-  A  e. 
NN0
numma.3  |-  B  e. 
NN0
numma.4  |-  C  e. 
NN0
numma.5  |-  D  e. 
NN0
numma.6  |-  M  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
numma.7  |-  N  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
numaddc.8  |-  F  e. 
NN0
numaddc.9  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
numaddc.10  |-  ( B  +  D )  =  ( ( T  x.  1 )  +  F
)
Assertion
Ref Expression
numaddc  |-  ( M  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)

Proof of Theorem numaddc
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
2 numma.1 . . . . . . 7  |-  T  e. 
NN0
3 numma.2 . . . . . . 7  |-  A  e. 
NN0
4 numma.3 . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 10395 . . . . . 6  |-  ( ( T  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2508 . . . . 5  |-  M  e. 
NN0
76nn0cni 10235 . . . 4  |-  M  e.  CC
87mulid1i 9094 . . 3  |-  ( M  x.  1 )  =  M
98oveq1i 6093 . 2  |-  ( ( M  x.  1 )  +  N )  =  ( M  +  N
)
10 numma.4 . . 3  |-  C  e. 
NN0
11 numma.5 . . 3  |-  D  e. 
NN0
12 numma.7 . . 3  |-  N  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
13 1nn0 10239 . . 3  |-  1  e.  NN0
14 numaddc.8 . . 3  |-  F  e. 
NN0
153nn0cni 10235 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
1615mulid1i 9094 . . . . 5  |-  ( A  x.  1 )  =  A
1716oveq1i 6093 . . . 4  |-  ( ( A  x.  1 )  +  ( C  + 
1 ) )  =  ( A  +  ( C  +  1 ) )
1810nn0cni 10235 . . . . 5  |-  C  e.  CC
19 ax-1cn 9050 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2015, 18, 19addassi 9100 . . . 4  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  ( A  +  ( C  +  1 ) )
21 numaddc.9 . . . 4  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
2217, 20, 213eqtr2i 2464 . . 3  |-  ( ( A  x.  1 )  +  ( C  + 
1 ) )  =  E
234nn0cni 10235 . . . . . 6  |-  B  e.  CC
2423mulid1i 9094 . . . . 5  |-  ( B  x.  1 )  =  B
2524oveq1i 6093 . . . 4  |-  ( ( B  x.  1 )  +  D )  =  ( B  +  D
)
26 numaddc.10 . . . 4  |-  ( B  +  D )  =  ( ( T  x.  1 )  +  F
)
2725, 26eqtri 2458 . . 3  |-  ( ( B  x.  1 )  +  D )  =  ( ( T  x.  1 )  +  F
)
282, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 13, 22, 27nummac 10416 . 2  |-  ( ( M  x.  1 )  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)
299, 28eqtr3i 2460 1  |-  ( M  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997   NN0cn0 10223
This theorem is referenced by:  decaddc  10426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127  df-sub 9295  df-nn 10003  df-n0 10224
  Copyright terms: Public domain W3C validator