MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numaddc Unicode version

Theorem numaddc 10159
Description: Add two decimal integers  M and  N (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1  |-  T  e. 
NN0
numma.2  |-  A  e. 
NN0
numma.3  |-  B  e. 
NN0
numma.4  |-  C  e. 
NN0
numma.5  |-  D  e. 
NN0
numma.6  |-  M  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
numma.7  |-  N  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
numaddc.8  |-  F  e. 
NN0
numaddc.9  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
numaddc.10  |-  ( B  +  D )  =  ( ( T  x.  1 )  +  F
)
Assertion
Ref Expression
numaddc  |-  ( M  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)

Proof of Theorem numaddc
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
2 numma.1 . . . . . . 7  |-  T  e. 
NN0
3 numma.2 . . . . . . 7  |-  A  e. 
NN0
4 numma.3 . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 10135 . . . . . 6  |-  ( ( T  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2353 . . . . 5  |-  M  e. 
NN0
76nn0cni 9977 . . . 4  |-  M  e.  CC
87mulid1i 8839 . . 3  |-  ( M  x.  1 )  =  M
98oveq1i 5868 . 2  |-  ( ( M  x.  1 )  +  N )  =  ( M  +  N
)
10 numma.4 . . 3  |-  C  e. 
NN0
11 numma.5 . . 3  |-  D  e. 
NN0
12 numma.7 . . 3  |-  N  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
13 1nn0 9981 . . 3  |-  1  e.  NN0
14 numaddc.8 . . 3  |-  F  e. 
NN0
153nn0cni 9977 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
1615mulid1i 8839 . . . . 5  |-  ( A  x.  1 )  =  A
1716oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( ( A  x.  1 )  +  ( C  + 
1 ) )  =  ( A  +  ( C  +  1 ) )
1810nn0cni 9977 . . . . 5  |-  C  e.  CC
19 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2015, 18, 19addassi 8845 . . . 4  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  ( A  +  ( C  +  1 ) )
21 numaddc.9 . . . 4  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
2217, 20, 213eqtr2i 2309 . . 3  |-  ( ( A  x.  1 )  +  ( C  + 
1 ) )  =  E
234nn0cni 9977 . . . . . 6  |-  B  e.  CC
2423mulid1i 8839 . . . . 5  |-  ( B  x.  1 )  =  B
2524oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( ( B  x.  1 )  +  D )  =  ( B  +  D
)
26 numaddc.10 . . . 4  |-  ( B  +  D )  =  ( ( T  x.  1 )  +  F
)
2725, 26eqtri 2303 . . 3  |-  ( ( B  x.  1 )  +  D )  =  ( ( T  x.  1 )  +  F
)
282, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 13, 22, 27nummac 10156 . 2  |-  ( ( M  x.  1 )  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)
299, 28eqtr3i 2305 1  |-  ( M  +  N )  =  ( ( T  x.  E )  +  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  decaddc  10166
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator