MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numdensq Unicode version

Theorem numdensq 12825
Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
numdensq  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(numer `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (numer `  A ) ^ 2 )  /\  (denom `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem numdensq
StepHypRef Expression
1 qnumdencoprm 12816 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(numer `  A )  gcd  (denom `  A )
)  =  1 )
21oveq1d 5873 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( (numer `  A
)  gcd  (denom `  A
) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
3 qnumcl 12811 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (numer `  A )  e.  ZZ )
4 qdencl 12812 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  e.  NN )
54nnzd 10116 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  e.  ZZ )
6 zgcdsq 12824 . . . 4  |-  ( ( (numer `  A )  e.  ZZ  /\  (denom `  A )  e.  ZZ )  ->  ( ( (numer `  A )  gcd  (denom `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )
73, 5, 6syl2anc 642 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( (numer `  A
)  gcd  (denom `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( (numer `  A ) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A
) ^ 2 ) ) )
8 sq1 11198 . . . 4  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
98a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
102, 7, 93eqtr3d 2323 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( (numer `  A
) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
11 qeqnumdivden 12817 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  =  ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) ) )
1211oveq1d 5873 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) ) ^
2 ) )
133zcnd 10118 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (numer `  A )  e.  CC )
144nncnd 9762 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  e.  CC )
154nnne0d 9790 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  =/=  0
)
1613, 14, 15sqdivd 11258 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( (numer `  A
)  /  (denom `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  /  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )
1712, 16eqtrd 2315 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( (numer `  A ) ^ 2 )  /  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )
18 qsqcl 11175 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
19 zsqcl 11174 . . . 4  |-  ( (numer `  A )  e.  ZZ  ->  ( (numer `  A
) ^ 2 )  e.  ZZ )
203, 19syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(numer `  A ) ^ 2 )  e.  ZZ )
214nnsqcld 11265 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(denom `  A ) ^ 2 )  e.  NN )
22 qnumdenbi 12815 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  QQ  /\  ( (numer `  A ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( (denom `  A ) ^ 2 )  e.  NN )  ->  ( ( ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A ) ^ 2 ) )  =  1  /\  ( A ^
2 )  =  ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  /  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )  <->  ( (numer `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (numer `  A ) ^ 2 )  /\  (denom `  ( A ^
2 ) )  =  ( (denom `  A
) ^ 2 ) ) ) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1182 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( ( ( (numer `  A ) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A ) ^ 2 ) )  =  1  /\  ( A ^
2 )  =  ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  /  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )  <->  ( (numer `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (numer `  A ) ^ 2 )  /\  (denom `  ( A ^
2 ) )  =  ( (denom `  A
) ^ 2 ) ) ) )
2410, 17, 23mpbi2and 887 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(numer `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (numer `  A ) ^ 2 )  /\  (denom `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   QQcq 10316   ^cexp 11104    gcd cgcd 12685  numercnumer 12804  denomcdenom 12805
This theorem is referenced by:  numsq  12826  densq  12827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-numer 12806  df-denom 12807
  Copyright terms: Public domain W3C validator