MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numdensq Structured version   Unicode version

Theorem numdensq 13148
Description: Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
numdensq  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(numer `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (numer `  A ) ^ 2 )  /\  (denom `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem numdensq
StepHypRef Expression
1 qnumdencoprm 13139 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(numer `  A )  gcd  (denom `  A )
)  =  1 )
21oveq1d 6098 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( (numer `  A
)  gcd  (denom `  A
) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
3 qnumcl 13134 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (numer `  A )  e.  ZZ )
4 qdencl 13135 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  e.  NN )
54nnzd 10376 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  e.  ZZ )
6 zgcdsq 13147 . . . 4  |-  ( ( (numer `  A )  e.  ZZ  /\  (denom `  A )  e.  ZZ )  ->  ( ( (numer `  A )  gcd  (denom `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )
73, 5, 6syl2anc 644 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( (numer `  A
)  gcd  (denom `  A
) ) ^ 2 )  =  ( ( (numer `  A ) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A
) ^ 2 ) ) )
8 sq1 11478 . . . 4  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
98a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
102, 7, 93eqtr3d 2478 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( (numer `  A
) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
11 qeqnumdivden 13140 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  =  ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) ) )
1211oveq1d 6098 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) ) ^
2 ) )
133zcnd 10378 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (numer `  A )  e.  CC )
144nncnd 10018 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  e.  CC )
154nnne0d 10046 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  =/=  0
)
1613, 14, 15sqdivd 11538 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( (numer `  A
)  /  (denom `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  /  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )
1712, 16eqtrd 2470 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( (numer `  A ) ^ 2 )  /  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )
18 qsqcl 11455 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
19 zsqcl 11454 . . . 4  |-  ( (numer `  A )  e.  ZZ  ->  ( (numer `  A
) ^ 2 )  e.  ZZ )
203, 19syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(numer `  A ) ^ 2 )  e.  ZZ )
214nnsqcld 11545 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(denom `  A ) ^ 2 )  e.  NN )
22 qnumdenbi 13138 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  QQ  /\  ( (numer `  A ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( (denom `  A ) ^ 2 )  e.  NN )  ->  ( ( ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A ) ^ 2 ) )  =  1  /\  ( A ^
2 )  =  ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  /  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )  <->  ( (numer `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (numer `  A ) ^ 2 )  /\  (denom `  ( A ^
2 ) )  =  ( (denom `  A
) ^ 2 ) ) ) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1185 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( ( ( (numer `  A ) ^ 2 )  gcd  ( (denom `  A ) ^ 2 ) )  =  1  /\  ( A ^
2 )  =  ( ( (numer `  A
) ^ 2 )  /  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )  <->  ( (numer `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (numer `  A ) ^ 2 )  /\  (denom `  ( A ^
2 ) )  =  ( (denom `  A
) ^ 2 ) ) ) )
2410, 17, 23mpbi2and 889 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(numer `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (numer `  A ) ^ 2 )  /\  (denom `  ( A ^ 2 ) )  =  ( (denom `  A ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1c1 8993    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   ZZcz 10284   QQcq 10576   ^cexp 11384    gcd cgcd 13008  numercnumer 13127  denomcdenom 13128
This theorem is referenced by:  numsq  13149  densq  13150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-numer 13129  df-denom 13130
  Copyright terms: Public domain W3C validator