MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul2c Unicode version

Theorem nummul2c 10351
Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1  |-  T  e. 
NN0
nummul1c.2  |-  P  e. 
NN0
nummul1c.3  |-  A  e. 
NN0
nummul1c.4  |-  B  e. 
NN0
nummul1c.5  |-  N  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
nummul1c.6  |-  D  e. 
NN0
nummul1c.7  |-  E  e. 
NN0
nummul2c.7  |-  ( ( P  x.  A )  +  E )  =  C
nummul2c.8  |-  ( P  x.  B )  =  ( ( T  x.  E )  +  D
)
Assertion
Ref Expression
nummul2c  |-  ( P  x.  N )  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)

Proof of Theorem nummul2c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4  |-  N  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
2 nummul1c.1 . . . . 5  |-  T  e. 
NN0
3 nummul1c.3 . . . . 5  |-  A  e. 
NN0
4 nummul1c.4 . . . . 5  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 10325 . . . 4  |-  ( ( T  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2457 . . 3  |-  N  e. 
NN0
76nn0cni 10165 . 2  |-  N  e.  CC
8 nummul1c.2 . . 3  |-  P  e. 
NN0
98nn0cni 10165 . 2  |-  P  e.  CC
10 nummul1c.6 . . 3  |-  D  e. 
NN0
11 nummul1c.7 . . 3  |-  E  e. 
NN0
123nn0cni 10165 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
1312, 9mulcomi 9029 . . . . 5  |-  ( A  x.  P )  =  ( P  x.  A
)
1413oveq1i 6030 . . . 4  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  ( ( P  x.  A )  +  E
)
15 nummul2c.7 . . . 4  |-  ( ( P  x.  A )  +  E )  =  C
1614, 15eqtri 2407 . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
174nn0cni 10165 . . . 4  |-  B  e.  CC
18 nummul2c.8 . . . 4  |-  ( P  x.  B )  =  ( ( T  x.  E )  +  D
)
199, 17, 18mulcomli 9030 . . 3  |-  ( B  x.  P )  =  ( ( T  x.  E )  +  D
)
202, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19nummul1c 10350 . 2  |-  ( N  x.  P )  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
217, 9, 20mulcomli 9030 1  |-  ( P  x.  N )  =  ( ( T  x.  C )  +  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6020    + caddc 8926    x. cmul 8928   NN0cn0 10153
This theorem is referenced by:  decmul2c  10362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225  df-nn 9933  df-n0 10154
  Copyright terms: Public domain W3C validator