MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numthcor Unicode version

Theorem numthcor 8121
Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
numthcor  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  ~<  x
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem numthcor
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  ~<  x  <->  A  ~<  x ) )
21rexbidv 2564 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  On  y  ~<  x  <->  E. x  e.  On  A  ~<  x
) )
3 vex 2791 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
43pwex 4193 . . . 4  |-  ~P y  e.  _V
54numth2 8098 . . 3  |-  E. x  e.  On  x  ~~  ~P y
63canth2 7014 . . . . 5  |-  y  ~<  ~P y
7 ensym 6910 . . . . 5  |-  ( x 
~~  ~P y  ->  ~P y  ~~  x )
8 sdomentr 6995 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<  ~P y  /\  ~P y  ~~  x
)  ->  y  ~<  x )
96, 7, 8sylancr 644 . . . 4  |-  ( x 
~~  ~P y  ->  y  ~<  x )
109reximi 2650 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  x  ~~  ~P y  ->  E. x  e.  On  y  ~<  x
)
115, 10ax-mp 8 . 2  |-  E. x  e.  On  y  ~<  x
122, 11vtoclg 2843 1  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  ~<  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   Oncon0 4392    ~~ cen 6860    ~< csdm 6862
This theorem is referenced by:  cardmin  8186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-card 7572  df-ac 7743
  Copyright terms: Public domain W3C validator