MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numthcor Unicode version

Theorem numthcor 8301
Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
numthcor  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  ~<  x
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem numthcor
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4150 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  ~<  x  <->  A  ~<  x ) )
21rexbidv 2664 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  On  y  ~<  x  <->  E. x  e.  On  A  ~<  x
) )
3 vex 2896 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
43pwex 4317 . . . 4  |-  ~P y  e.  _V
54numth2 8278 . . 3  |-  E. x  e.  On  x  ~~  ~P y
63canth2 7190 . . . . 5  |-  y  ~<  ~P y
7 ensym 7086 . . . . 5  |-  ( x 
~~  ~P y  ->  ~P y  ~~  x )
8 sdomentr 7171 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<  ~P y  /\  ~P y  ~~  x
)  ->  y  ~<  x )
96, 7, 8sylancr 645 . . . 4  |-  ( x 
~~  ~P y  ->  y  ~<  x )
109reximi 2750 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  x  ~~  ~P y  ->  E. x  e.  On  y  ~<  x
)
115, 10ax-mp 8 . 2  |-  E. x  e.  On  y  ~<  x
122, 11vtoclg 2948 1  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  ~<  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2644   ~Pcpw 3736   class class class wbr 4147   Oncon0 4516    ~~ cen 7036    ~< csdm 7038
This theorem is referenced by:  cardmin  8366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-ac2 8270
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-suc 4522  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-riota 6479  df-recs 6563  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-card 7753  df-ac 7924
  Copyright terms: Public domain W3C validator